题目
设曲线的极坐标方程为rho =(e)^atheta (agt 0)，则该曲线上相应于theta 从0变到2pi 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为(,,,,,)A、dfrac (1)(4a)((e)^4pi a+1)B、dfrac (1)(4a)((e)^4pi a-1)C、dfrac (1)(2a)((e)^4pi a+1)D、dfrac (1)(2a)((e)^4pi a-1)
设曲线的极坐标方程为$\rho ={e}^{a\theta }$($a\gt 0$)，则该曲线上相应于$\theta $从$0$变到$2\pi $的一段弧与极轴所围成的图形的面积为$\left(\,\,\,\,\,\right)$
$A、$$\dfrac {1}{4a}({e}^{4\pi a}+1)$
$B、$$\dfrac {1}{4a}({e}^{4\pi a}-1)$
$C、$$\dfrac {1}{2a}({e}^{4\pi a}+1)$
$D、$$\dfrac {1}{2a}({e}^{4\pi a}-1)$
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定极坐标下的面积公式
极坐标系中，曲线$\rho = f(\theta)$与极轴所围成的图形的面积公式为$S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 d\theta$，其中$\alpha$和$\beta$是$\theta$的积分区间。
步骤 2：代入给定的极坐标方程
将$\rho = e^{a\theta}$代入面积公式，得到$S = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} (e^{a\theta})^2 d\theta$。
步骤 3：计算积分
$S = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} e^{2a\theta} d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2a} e^{2a\theta} \Big|_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4a} (e^{4\pi a} - 1)$。
极坐标系中，曲线$\rho = f(\theta)$与极轴所围成的图形的面积公式为$S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 d\theta$，其中$\alpha$和$\beta$是$\theta$的积分区间。
步骤 2：代入给定的极坐标方程
将$\rho = e^{a\theta}$代入面积公式，得到$S = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} (e^{a\theta})^2 d\theta$。
步骤 3：计算积分
$S = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} e^{2a\theta} d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2a} e^{2a\theta} \Big|_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4a} (e^{4\pi a} - 1)$。