题目
1.13 用复参数方程表示下列各曲线:-|||-(1)连接 1+i 与 -1-4i 的直线段;-|||-(2)以0为中心,焦点在实轴上,长半轴为a,短半轴为b的椭圆周.
题目解答
答案
解析
考查要点：
- 复数参数方程的表示方法：将几何图形用复数形式参数化，需明确起点、方向向量及参数范围。
- 椭圆的标准参数方程：理解椭圆在复平面上的表示，注意长轴方向与焦点位置的关系。
解题核心思路：
- 直线段：通过起点和方向向量构造参数方程，参数范围限制在$[0,1]$。
- 椭圆：利用三角函数参数化椭圆方程，结合复数形式表达坐标点，注意长半轴与焦点方向的对应关系。
破题关键点：
- 直线段的方向向量：终点减起点得到方向向量。
- 椭圆的参数化：焦点在实轴说明长轴为实轴，参数方程需体现长半轴$a$和短半轴$b$。
第（1）题
连接$1+i$与$-1-4i$的直线段
- 确定起点和方向向量：
起点为复数$1+i$，终点为$-1-4i$，方向向量为终点减起点：
$(-1-4i) - (1+i) = -2-5i$ - 构造参数方程：
参数$t$从$0$到$1$，方程为：
$z = 1+i + (-2-5i)t \quad (0 \leq t \leq 1)$
第（2）题
以$0$为中心，焦点在实轴上的椭圆周
- 椭圆标准方程：
在直角坐标系中，椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，参数方程为：
$x = a \cos t, \quad y = b \sin t \quad (0 \leq t < 2\pi)$ - 转换为复数形式：
将坐标点$(x,y)$表示为复数$z = x + iy$，得：
$z = a \cos t + ib \sin t \quad (0 \leq t < 2\pi)$