题目
判别级数 sum _(n=1)^infty dfrac (n)({3)^n-1} 的敛散性..
.
题目解答
答案
解：
根据比值审敛法，
所以可以判定，这个级数收敛。
解析
步骤 1：确定级数形式
级数形式为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n}{{3}^{n-1}}$，这是一个正项级数，其中每一项都是正数。
步骤 2：应用比值审敛法
比值审敛法是判断正项级数敛散性的一种方法。对于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }u_n$，如果 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {u_{n+1}}{u_n} = L$，则当 $L < 1$ 时，级数收敛；当 $L > 1$ 时，级数发散；当 $L = 1$ 时，比值审敛法无法判断级数的敛散性。
对于给定的级数，我们有 $u_n = \dfrac {n}{{3}^{n-1}}$，因此 $u_{n+1} = \dfrac {n+1}{{3}^{n}}$。计算比值 $\dfrac {u_{n+1}}{u_n}$：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {u_{n+1}}{u_n} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {n+1}{{3}^{n}}}{\dfrac {n}{{3}^{n-1}}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n+1}{n} \cdot \dfrac {1}{3} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{3} \cdot \dfrac {n+1}{n} = \dfrac {1}{3} \cdot \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n+1}{n} = \dfrac {1}{3} \cdot 1 = \dfrac {1}{3}$$
步骤 3：判断级数的敛散性
根据比值审敛法，由于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {u_{n+1}}{u_n} = \dfrac {1}{3} < 1$，所以可以判定，这个级数收敛。
级数形式为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n}{{3}^{n-1}}$，这是一个正项级数，其中每一项都是正数。
步骤 2：应用比值审敛法
比值审敛法是判断正项级数敛散性的一种方法。对于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }u_n$，如果 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {u_{n+1}}{u_n} = L$，则当 $L < 1$ 时，级数收敛；当 $L > 1$ 时，级数发散；当 $L = 1$ 时，比值审敛法无法判断级数的敛散性。
对于给定的级数，我们有 $u_n = \dfrac {n}{{3}^{n-1}}$，因此 $u_{n+1} = \dfrac {n+1}{{3}^{n}}$。计算比值 $\dfrac {u_{n+1}}{u_n}$：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {u_{n+1}}{u_n} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {n+1}{{3}^{n}}}{\dfrac {n}{{3}^{n-1}}} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n+1}{n} \cdot \dfrac {1}{3} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{3} \cdot \dfrac {n+1}{n} = \dfrac {1}{3} \cdot \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {n+1}{n} = \dfrac {1}{3} \cdot 1 = \dfrac {1}{3}$$
步骤 3：判断级数的敛散性
根据比值审敛法，由于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {u_{n+1}}{u_n} = \dfrac {1}{3} < 1$，所以可以判定，这个级数收敛。