按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数：(1) 1234；(2) 4132；(3) 3421；(4) 2413；(5) 13...(2n-1)24...(2n)；(6) 13...(2n-1)(2n)(2n-2)...2.

本题考查排列逆序数的计算，解题思路是根据逆序的的定义，找出排列中所有逆序对，统计逆序对的数量，即为排列的逆序数。

(1) 排列 $1234$

在排列 $1234$ 中，任意两个数都满足从小到大的顺序，不存在逆序对，所以逆序数为 $0$。

(2) 排列 $4132$

• 对于数 $4$，它后面比它小的数有 $1$、$3$、$2$，构成逆序对 $(4,1)$、$(4,3)$、$(4,2)$。
• 对于数 $3，它后面比它小的数有 $2$，构成逆序对 $(3,2)$。
• 统计逆序对的数量，一共有 $4$ 个逆序对，所以逆序数为 $4$。

(3) 排列 $3421$

• 对于数 $3$，它后面比它小的数有 $2$、$1$，构成逆序对 $(3,2)$、$(3,1)$。
• 对于数 $4$，它后面比它小的数有 $2$、$1，构成逆序对 $(4,2)$、$(4,1)$。
• 对于数 $2$，它后面比它小的数有 $1$，构成逆序对 $(2,1)$。
• 统计逆序对数量，一共有 $5$ 个逆序对，所以逆序数为 $5$。

(4) 排列 $2413$

• 对于数 $2$，它后面比它小的数有 $1$，构成逆序对 $(2,1)$。
• 对于数 $4$，它后面比它小的数有 $1$、$3$，构成逆序对 $(4,1)$、$(4,3)$。
• 统计逆序对数量，一共有 $3$ 个逆序对，所以逆序数为 $3$。

(5) 排列 $13\cdots(2n - 1)24\cdots(2n)$

• 考虑奇数与偶数之间的逆序对。
• 对于奇数 $3$，它后面比它小的偶数有 $2$；对于奇数 $5$，它后面比它小的偶数有 $2$、$4$；以此类推，对于奇数 $2n - 1$，后面比它小的偶数有 $2$、$4$、$\cdots$、$2n$。
• 统计逆序对数量，从 $3$ 开始，每个奇数后面比它小的偶数个数依次为 $1$、$2$、$\cdots$、$n$。
• 逆序对总数为 $\sum_{i = 1}^{n}i=\frac{n(n + 1)}{2}$。

(6) 排列 $13\cdots(2n - 1)(2n)(2n - 2)\cdots2$

• 考虑奇数与偶数之间逆序对情况。
• 对于奇数 $3$，它后面比它小的偶数有 $2$、$2n - 2$；对于奇数 $5$，后面比它小的偶数有 $2$、$4$、$n - 2$；以此类推，对于奇数 $2n - 1$，后面比它小的偶数有 $2$、$4$、$\cdots$、$2n - 2$。
• 统计逆序对数量，从 $3$ 开始，每个奇数后面比它小的偶数个数依次为 $n - 1$、$n - 2$、$\cdots$、$1$。
• 逆序对总数为 $\sum_{i = 1}^{n - 1}(n - i)=n(n - 1)$。