题目
近年来，我国高铁技术的突飞猛进和引人瞩目的建成规模，不仅为人民出行提供了更便捷、高效的通行方式，也在世界范围内产生了广泛、积极的影响。列车车轮行驶到两铁轨接缝处时，会受到一次撞击，使车厢发生受迫振动。当车速达某一速率时（使撞击频率与车厢固有频率相同）发生激烈颠簸，这一速率即为危险速率。设车厢总负荷为 m=6times10^4 mathrm(~kg)，车厢弹簧每受力 F=10^4 mathrm(~N) 被压缩 Delta x=0.4 mathrm(~mm)，铁轨长 L=25 mathrm(~m)，求危险速率。
近年来，我国高铁技术的突飞猛进和引人瞩目的建成规模，不仅为人民出行提供了更便捷、高效的通行方式，也在世界范围内产生了广泛、积极的影响。列车车轮行驶到两铁轨接缝处时，会受到一次撞击，使车厢发生受迫振动。当车速达某一速率时（使撞击频率与车厢固有频率相同）发生激烈颠簸，这一速率即为危险速率。设车厢总负荷为 $m=6\times10^{4} \mathrm{~kg}$，车厢弹簧每受力 $F=10^{4} \mathrm{~N}$ 被压缩 $\Delta x=0.4 \mathrm{~mm}$，铁轨长 $L=25 \mathrm{~m}$，求危险速率。
题目解答
答案
根据题意，弹簧劲度系数为：
\[
k = \frac{F}{\Delta x} = \frac{10^4}{0.4 \times 10^{-3}} = 2.5 \times 10^7 \, \text{N/m}
\]
车厢固有频率为：
\[
f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2.5 \times 10^7}{6 \times 10^4}} \approx 3.25 \, \text{Hz}
\]
危险速率满足 $ v = f_0 L $：
\[
v = 3.25 \times 25 = 81.25 \, \text{m/s}
\]
最终结果为：
\[
v = 81.25 \, \text{m/s}
\]
解析
考查要点：本题主要考查共振现象的应用及弹簧振子固有频率的计算，涉及胡克定律、固有频率公式和危险速率的推导。
解题核心思路：
- 确定弹簧的劲度系数：利用胡克定律 $k = \frac{F}{\Delta x}$，注意单位换算。
- 计算车厢的固有频率：通过公式 $f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$，将已知的 $k$ 和 $m$ 代入。
- 关联危险速率与固有频率：危险速率 $v = f_0 L$，即撞击频率等于固有频率时的速度。
破题关键点：
- 单位统一：将 $\Delta x$ 从毫米转换为米。
- 公式选择：正确应用胡克定律和固有频率公式。
- 物理意义理解：危险速率对应共振条件下的速度，需明确 $v = f_0 L$ 的物理意义。
步骤1：计算弹簧的劲度系数
根据胡克定律，弹簧劲度系数为：
$k = \frac{F}{\Delta x} = \frac{10^4}{0.4 \times 10^{-3}} = 2.5 \times 10^7 \, \text{N/m}$
步骤2：计算车厢的固有频率
固有频率公式为：
$f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2.5 \times 10^7}{6 \times 10^4}} \approx \frac{1}{2\pi} \times 20.41 \approx 3.25 \, \text{Hz}$
步骤3：求危险速率
当撞击频率等于固有频率时，危险速率为：
$v = f_0 L = 3.25 \times 25 = 81.25 \, \text{m/s}$