3.（3.0分） int_(-pi)^picos kxcos nxdx=0，k,n=1,2,3,...,kneq n)=（） A -pi B 0 C pi D 1

为了求解积分 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \cos n x \, dx$，其中 $k, n = 1, 2, 3, \cdots$ 且 $k \neq n$，我们可以使用三角函数的积化和差公式。积化和差公式之一是： \[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] \] 在这个问题中，我们设 $A = kx$ 和 $B = nx$。代入公式，我们得到： \[ \cos kx \cos nx = \frac{1}{2} [\cos (k+n)x + \cos (k-n)x] \] 现在，我们需要积分这个表达式从 $-\pi$ 到 $\pi$： \[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \cos nx \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2} [\cos (k+n)x + \cos (k-n)x] \, dx \] 我们可以将积分分成两个部分： \[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \cos nx \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos (k+n)x \, dx + \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos (k-n)x \, dx \] 接下来，我们分别计算这两个积分。首先，考虑 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos (k+n)x \, dx$。由于 $k$ 和 $n$ 都是正整数，且 $k \neq n$，所以 $k+n$ 是一个非零整数。余弦函数的积分是正弦函数，因此： \[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos (k+n)x \, dx = \left[ \frac{\sin (k+n)x}{k+n} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin (k+n)\pi}{k+n} - \frac{\sin (-(k+n)\pi)}{k+n} = \frac{\sin (k+n)\pi}{k+n} + \frac{\sin (k+n)\pi}{k+n} = \frac{2\sin (k+n)\pi}{k+n} \] 由于 $(k+n)\pi$ 是 $\pi$ 的整数倍，$\sin (k+n)\pi = 0$。因此： \[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos (k+n)x \, dx = 0 \] 同样地，考虑 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos (k-n)x \, dx$。由于 $k \neq n$，所以 $k-n$ 是一个非零整数。余弦函数的积分是正弦函数，因此： \[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos (k-n)x \, dx = \left[ \frac{\sin (k-n)x}{k-n} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin (k-n)\pi}{k-n} - \frac{\sin (-(k-n)\pi)}{k-n} = \frac{\sin (k-n)\pi}{k-n} + \frac{\sin (k-n)\pi}{k-n} = \frac{2\sin (k-n)\pi}{k-n} \] 由于 $(k-n)\pi$ 是 $\pi$ 的整数倍，$\sin (k-n)\pi = 0$。因此： \[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos (k-n)x \, dx = 0 \] 将这两个结果代回原积分，我们得到： \[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \cos nx \, dx = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \] 因此，答案是： \[ \boxed{B} \]