2.已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)，求f(z)u=e^x(xcos y-ysin y)，f(0)=0
题目解答
答案
设 $ u(x, y) = e^x (x \cos y - y \sin y) $，由柯西-黎曼方程得
$v_y = u_x = e^x \left[ (x + 1) \cos y - y \sin y \right], \quad v_x = -u_y = e^x \left[ (x + 1) \sin y + y \cos y \right].$
积分 $ v_y $ 关于 $ y $，得
$v(x, y) = e^x \left[ x \sin y + y \cos y \right] + g(x).$
由 $ v_x = -u_y $，解得 $ g(x) = 0 $。
结合 $ f(0) = 0 $，得 $ v(0, 0) = 0 $，故 $ g(0) = 0 $。
因此，
$f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = e^x \left[ (x \cos y - y \sin y) + i (x \sin y + y \cos y) \right] = z e^z.$
答案： $\boxed{z e^z}$
解析
本题考查利用柯西 - 黎曼方程求解析函数。解题思路是先根据已知的实部函数 $u(x,y)$ 求出其偏导数 $u_x$ 和 $u_y$，再利用柯西 - - 黎曼方程 $v_y = u_x$ 和 $v_x = -u_y$ 求出虚部函数 $v(x,y)$，最后结合给定的条件 $f(0)=0$ 确定函数 $f(z)$。
步骤一：求 $u(x,y)$ 的偏导数
已知 $u(x,y)=e^{x}(x\cos y - y\sin y)$，根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：
- 对 $x$ 求偏导数 $u_x$：
将 $y$ 看作常数，对 $e^{x}(x\cos y - y\sin y)$ 求导，可得：
$\begin{align*}u_x&=\frac{\partial}{\partial x}[e^{x\cos y - y\sin y)]\\&=e^{x}(x\cos y - y\sin y)+e^{x}\cos y}\\&=e^{x}[(x + 1)\cos y - y\sin y]\end{align*}$ - 对 $y$ 求偏导数 $u_y$：
将 $x$ 看作常数，对 $e^{x\cos y - y\sin y)$ 求导，可得：
$\begin{align*}u_y&=\frac{\partial}{\partial y}[e^{x}(x\cos y - y\sin y)]\\&=e^{x}(-x\sin y - \sin y - y\cos y)\\&=-e^{x}[(x + 1)\sin y + y\cos y]\end{align*}$
步骤二：根据柯西 - 黎曼方程求 $v(x,y)$
由柯西 - 黎曼方程 $v_y = u_x$ 和 $\(v_x = -u_y$ 可得：
- $v_y = u_x = e^{x}[(x + 1)\cos y - y\sin y]$
- $v_x = -u_y = e^{x}[(x + 1)\sin y + y\cos y]$
对 $v_y$ 关于 $y$ 积分求 $v(x,y)$：
$\begin{align*}v(x,y)&=\int e^{x}[(x + 1)\cos y - y\sin y]dy\\&=e^{x}\int[(x + 1)\cos y - y\sin y]dy\\&=e^{x}[(x + 1)\sin y + y\cos y - \int\cos ydy]dy\\&=e^{x}[(x + 1)\sin y + y\cos y - \sin y]+g(x)\\\end{align*}$
其中 $g(x)$ 是关于 $x$ 的待定函数。
步骤三：确定 $g(x)$
对 $v(x,y)$ 关于 $x$ 求偏导数：
$\begin{align*}v_x&=\frac{\partial}{\partial x}[e^{x}[(x + 1)\sin y + y\cos y - \\sin y]+g(x)]\\&=e^{x}[(x + 1)\sin y + y\cos y - \sin y]+e^{x}[\sin y + y\cos y - \sin y]+g^\prime(x)\\&=e^{x}[(x + 1)\sin y + y\cos y]+g^\prime(x)\end{align*}$
又因为 $v_x = e^{x}[(x + 1)\sin y + y\cos y]$，所以 $g^\prime(x) = 0$，则 $g(x) = C$（$C$ 为常数）。
步骤四：根据 $f(0)=0$ 确定常数 $C$
已知 $f(0)=0$，即 $f(0,0)=u(0,0)+iv(0,0)=0$。
先求 $u(0,0)$：
$u(0,0)=e^{0}(0\times\cos 0 - 0\times\sin 0)=0$
再求 $v(0,0)$：
$v(0,0)=e^{0}[(0 + 1)\sin 0 + 0\times\cos 0]+C = C$
因为 $f(0,0)=0$，所以 $u(0,0)+iv(0,0)=0 + iC = 0$，可得 $C = 0$。
步骤五：求 $f(z)$
将 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 代入 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$\) 可得：
$\begin{align*}f(z)&=e^{x}(x\cos y - y\sin y)+ie^{x}[(x + 1)\sin y + y\cos y - \sin y]\\&=e^{x}(x\cos y - y\sin y)+ie^{x}(x\sin y + y\cos y)\\&=e^{x}(x + iy)(\cos y + i\sin y)\\&=ze^{z}\end{align*}$