题目
若对于任意x∈[m，m+1]，都有x2+mx-1＜0成立，则实数m的取值范围是（ ）A. （(-(2)/(3)，0)）B. （(-({sqrt(2)))/(2)，0}）C. [(-(2)/(3)，0)]D. [(-({sqrt(2)))/(2)，0}]
若对于任意x∈[m，m+1]，都有x2+mx-1＜0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. $（{-\frac{2}{3}，0}）$
B. $（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0}）$
C. $[{-\frac{2}{3}，0}]$
D. $[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0}]$
题目解答
答案
B. $（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0}）$
解析
步骤 1：定义函数
设$f(x) = x^{2} + mx - 1$，根据题意，$f(x) < 0$对任意$x \in [m, m+1]$恒成立。
步骤 2：确定函数在区间[m, m+1]的取值
为了保证$f(x) < 0$在区间[m, m+1]上恒成立，需要$f(m) < 0$和$f(m+1) < 0$。
步骤 3：计算$f(m)$和$f(m+1)$
计算$f(m) = m^{2} + m^{2} - 1 = 2m^{2} - 1$，计算$f(m+1) = (m+1)^{2} + m(m+1) - 1 = 2m^{2} + 3m$。
步骤 4：解不等式
解不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{2m^{2} - 1 < 0}\\{2m^{2} + 3m < 0}\end{array}}\right.$，得到$m$的取值范围。
步骤 5：求解$m$的取值范围
解第一个不等式$2m^{2} - 1 < 0$，得到$m^{2} < \frac{1}{2}$，即$-\frac{\sqrt{2}}{2} < m < \frac{\sqrt{2}}{2}$。
解第二个不等式$2m^{2} + 3m < 0$，得到$m(2m + 3) < 0$，即$-\frac{3}{2} < m < 0$。
步骤 6：确定$m$的取值范围
结合两个不等式的解，得到$m$的取值范围为$-\frac{\sqrt{2}}{2} < m < 0$。
设$f(x) = x^{2} + mx - 1$，根据题意，$f(x) < 0$对任意$x \in [m, m+1]$恒成立。
步骤 2：确定函数在区间[m, m+1]的取值
为了保证$f(x) < 0$在区间[m, m+1]上恒成立，需要$f(m) < 0$和$f(m+1) < 0$。
步骤 3：计算$f(m)$和$f(m+1)$
计算$f(m) = m^{2} + m^{2} - 1 = 2m^{2} - 1$，计算$f(m+1) = (m+1)^{2} + m(m+1) - 1 = 2m^{2} + 3m$。
步骤 4：解不等式
解不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{2m^{2} - 1 < 0}\\{2m^{2} + 3m < 0}\end{array}}\right.$，得到$m$的取值范围。
步骤 5：求解$m$的取值范围
解第一个不等式$2m^{2} - 1 < 0$，得到$m^{2} < \frac{1}{2}$，即$-\frac{\sqrt{2}}{2} < m < \frac{\sqrt{2}}{2}$。
解第二个不等式$2m^{2} + 3m < 0$，得到$m(2m + 3) < 0$，即$-\frac{3}{2} < m < 0$。
步骤 6：确定$m$的取值范围
结合两个不等式的解，得到$m$的取值范围为$-\frac{\sqrt{2}}{2} < m < 0$。