lim_({x to infty)} (sqrt[3](x^3 + x^2) - xe^(1)/(x)) = ______.
$\lim_{{x \to \infty}} (\sqrt[3]{x^3 + x^2} - xe^{\frac{1}{x}}) = \_\_\_\_\_\_.$
题目解答
答案
我们要求极限：
$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + x^2} - x e^{1/x} \right)$
我们逐步分析这个极限。
第一步：分析 $\sqrt[3]{x^3 + x^2}$
我们有：
$\sqrt[3]{x^3 + x^2} = x \cdot \sqrt[3]{1 + \frac{1}{x}}$
因为：
$x^3 + x^2 = x^3 \left(1 + \frac{1}{x}\right)
\Rightarrow \sqrt[3]{x^3 + x^2} = \left( x^3 \left(1 + \frac{1}{x} \right) \right)^{1/3} = x \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{1/3}$
第二步：分析 $x e^{1/x}$
我们有：
$e^{1/x} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \quad (x \to \infty)$
所以：
$x e^{1/x} = x \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) = x + 1 + \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$
第三步：展开 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{1/3}$
使用泰勒展开（或二项式展开）：
$(1 + u)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}u - \frac{1}{9}u^2 + o(u^2), \quad u \to 0$
令 $u = \frac{1}{x}$，则：
$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3x} - \frac{1}{9x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)$
所以：
$\sqrt[3]{x^3 + x^2} = x \left(1 + \frac{1}{3x} - \frac{1}{9x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) = x + \frac{1}{3} - \frac{1}{9x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$
第四步：计算原式
现在我们有：
- $\sqrt[3]{x^3 + x^2} = x + \frac{1}{3} - \frac{1}{9x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$
- $x e^{1/x} = x + 1 + \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$
所以：
$\sqrt[3]{x^3 + x^2} - x e^{1/x} = \left(x + \frac{1}{3} - \frac{1}{9x} \right) - \left(x + 1 + \frac{1}{2x} \right) + o\left(\frac{1}{x}\right)$
化简：
$= \left( \frac{1}{3} - 1 \right) + \left( -\frac{1}{9x} - \frac{1}{2x} \right) + o\left(\frac{1}{x}\right)
= -\frac{2}{3} - \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{2} \right)\frac{1}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$
计算系数：
$\frac{1}{9} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 9}{18} = \frac{11}{18}
\Rightarrow -\frac{11}{18x}$
所以整体为：
$-\frac{2}{3} - \frac{11}{18x} + o\left(\frac{1}{x}\right)$
当 $x \to \infty$ 时，后面含 $\frac{1}{x}$ 的项趋于 0，因此极限为：
$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + x^2} - x e^{1/x} \right) = -\frac{2}{3}$
最终答案：
$\boxed{-\frac{2}{3}}$
解析
考查要点：本题主要考查无穷小量展开和泰勒公式的应用，以及处理多项式与指数函数组合的极限问题。
解题核心思路：
- 拆分表达式：将两个部分分别展开到足够阶数，确保相减后能消去高阶无穷小。
- 展开技巧：对$\sqrt[3]{x^3 + x^2}$使用二项式展开，对$e^{1/x}$使用泰勒展开。
- 合并化简：将展开后的表达式相减，保留到$\frac{1}{x}$阶，其余项归为$o\left(\frac{1}{x}\right)$，最终取极限。
破题关键点：
- 正确展开：确保展开式中各项系数准确，尤其是二项式展开的高阶项。
- 阶数匹配：两个部分展开到相同阶数，避免遗漏低阶项导致误差。
步骤1：展开$\sqrt[3]{x^3 + x^2}$
将表达式变形为：
$\sqrt[3]{x^3 + x^2} = x \cdot \sqrt[3]{1 + \frac{1}{x}}.$
对$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{1/3}$使用二项式展开（保留到$\frac{1}{x^2}$项）：
$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3x} - \frac{1}{9x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right).$
因此：
$\sqrt[3]{x^3 + x^2} = x + \frac{1}{3} - \frac{1}{9x} + o\left(\frac{1}{x}\right).$
步骤2：展开$xe^{1/x}$
对$e^{1/x}$使用泰勒展开（保留到$\frac{1}{x^2}$项）：
$e^{1/x} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right).$
乘以$x$后得到：
$xe^{1/x} = x + 1 + \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right).$
步骤3：计算原式
将两部分相减：
$\begin{aligned}\sqrt[3]{x^3 + x^2} - xe^{1/x} &= \left(x + \frac{1}{3} - \frac{1}{9x}\right) - \left(x + 1 + \frac{1}{2x}\right) + o\left(\frac{1}{x}\right) \\&= \left(\frac{1}{3} - 1\right) + \left(-\frac{1}{9x} - \frac{1}{2x}\right) + o\left(\frac{1}{x}\right) \\&= -\frac{2}{3} - \frac{11}{18x} + o\left(\frac{1}{x}\right).\end{aligned}$
当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x}$和更高阶项趋于$0$，故极限为：
$\boxed{-\frac{2}{3}}.$