题目
设区域 D 由曲线 y=x^2, y=2-x 和 x 轴所围成，则该区域可表示为()A. D=(x,y)|0 leq x leq 2, 0 leq y leq x^2B. D=(x,y)|0 leq x leq 2, 0 leq y leq 2-xC. D=(x,y)|0 leq y leq 1, 2-x leq y leq x^2D. D=(x,y)|0 leq y leq 1, sqrt(y) leq x leq 2-y
设区域 $D$ 由曲线 $y=x^2$, $y=2-x$ 和 $x$ 轴所围成，则该区域可表示为()
A. $D=\{(x,y)|0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x^2\}$
B. $D=\{(x,y)|0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2-x\}$
C. $D=\{(x,y)|0 \leq y \leq 1, 2-x \leq y \leq x^2\}$
D. $D=\{(x,y)|0 \leq y \leq 1, \sqrt{y} \leq x \leq 2-y\}$
题目解答
答案
D. $D=\{(x,y)|0 \leq y \leq 1, \sqrt{y} \leq x \leq 2-y\}$
解析
步骤 1：确定曲线的交点
- 曲线 $y=x^2$ 和 $y=2-x$ 的交点：$x^2 = 2 - x$，解得 $x = 1$，此时 $y = 1$。
- 曲线 $y=x^2$ 和 x 轴的交点：$x^2 = 0$，解得 $x = 0$，此时 $y = 0$。
- 曲线 $y=2-x$ 和 x 轴的交点：$2 - x = 0$，解得 $x = 2$，此时 $y = 0$。
步骤 2：确定区域 $D$ 的范围
- 沿 x 轴：$x$ 的范围从 0 到 2。
- 沿 y 轴：对于 $0 \leq x \leq 1$，$y$ 的范围从 0 到 $x^2$；对于 $1 \leq x \leq 2$，$y$ 的范围从 0 到 $2 - x$。
步骤 3：确定区域 $D$ 的表示
- 沿 y 轴：$y$ 的范围从 0 到 1。
- 沿 x 轴：对于 $0 \leq y \leq 1$，$x$ 的范围从 $\sqrt{y}$ 到 $2 - y$。
- 曲线 $y=x^2$ 和 $y=2-x$ 的交点：$x^2 = 2 - x$，解得 $x = 1$，此时 $y = 1$。
- 曲线 $y=x^2$ 和 x 轴的交点：$x^2 = 0$，解得 $x = 0$，此时 $y = 0$。
- 曲线 $y=2-x$ 和 x 轴的交点：$2 - x = 0$，解得 $x = 2$，此时 $y = 0$。
步骤 2：确定区域 $D$ 的范围
- 沿 x 轴：$x$ 的范围从 0 到 2。
- 沿 y 轴：对于 $0 \leq x \leq 1$，$y$ 的范围从 0 到 $x^2$；对于 $1 \leq x \leq 2$，$y$ 的范围从 0 到 $2 - x$。
步骤 3：确定区域 $D$ 的表示
- 沿 y 轴：$y$ 的范围从 0 到 1。
- 沿 x 轴：对于 $0 \leq y \leq 1$，$x$ 的范围从 $\sqrt{y}$ 到 $2 - y$。