square (每小题10分,共20分)-|||-1.求非齐次线性方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)+4(x)_(3)=4 -(x)_(1)+4(x)_(2)+(x)_(3)=16 (x)_(1)-(x)_(2)+2(x)_(3)=-4 . 的通解。

本题考查非齐次线性方程组通解的求解，通解结构为对应齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解，具体步骤如下：

步骤1：写出增广矩阵并进行初等行变换

非齐次线性方程组的增广矩阵为：
$\overline{A} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 4 & 4 \\-1 & 4 & 1 & 16 \\1 & -1 & 2 & -4\end{pmatrix}$
通过初等行变换化为行最简形：

• 第2行加第1行：$R_2 = R_2 + R_1$，得$\begin{pmatrix}0 & 5 & 5 & 20\end{pmatrix}$
• 第3行减第1行：$R_3 = R_3 - R_1$，得$\begin{pmatrix}0 & -2 & -2 & -8\end{pmatrix}$
• 第2行除以5：$R_2 = \frac{1}{5}R_2$，得$\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 4\end{pmatrix}$
• 第3行除以-2：$R_3 = -\frac{1}{2}R_3$，得$\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & 4\end{pmatrix}$
• 第3行减第2行：$R_3 = R_3 - R_2$，得$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
• 第1行减第2行：$R_1 = R_1 - R_2$，得$\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 0\end{pmatrix}$

最终行最简形为：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 0 \\0 & 1 & 1 & 4 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

步骤2：求对应齐次方程组的通解

行最简形对应的齐次方程组为：
$\begin{cases}x_1 + 3x_3 = 0 \\x_2 + x_3 = 0\end{cases}$
取自由变量$x_3 = k_1$（$k_1 \in \mathbb{R}$），则：
$x_1 = -3k_1$，$x_2 = -k_1$，$x_3 = k_1$
齐次通解为：$k_1(-3, -1, 1)^T$

步骤3：求非齐次方程组的一个特解

取自由变量$x_3 = 0$，得：
$x_1 = 0$，$x_2 = 4$，$x_3 = 0$
特解为：$(0, 4, 0)^T$

步骤4：写出非齐次方程组的通解

通解为齐次通解加特解：
$x = k_1(-3, -1, 1)^T + (0, 4, 0)^T \quad (k_1 \in \mathbb{R})$