11-34 用一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱( lambda =589mm ),设透-|||-镜焦距 =1.00m. 问:(1)光线垂直入射时,最多能看到第几级光谱?`(2)光线以入射-|||-角30°入射时,最多能看到第几级光谱?(3)若用白光垂直照射光栅,第一级光谱的线-|||-宽度是多少.
题目解答
答案
解析
本题主要考查光栅衍射的相关知识，涉及光栅方程、缺级现象判断以及光谱线宽度计算，具体思路如下：
(1) 光线垂直入射时最多能看到第几级光谱
光栅方程为：
$d\sin\theta = k\lambda$
其中，光栅常数 $d = \frac{1}{N}$（$N=500\,\text{条/mm}$），则 $d = \frac{1}{500}\,\text{mm} = 2000\,\text{nm}$；钠光谱波长 $\lambda=589\,\text{nm}$。
关键：最大衍射角 $\theta \leq 90^\circ$，即 $\sin\theta \leq 1$，故 $k_{\text{max}} \leq \frac{d}{\lambda}$。
计算：
$k_{\text{max}} \leq \frac{2000}{589} \approx 3.395$
取整数 $k=3$。但需判断是否缺级：缺级条件为 $d\sin\theta = k\lambda$ 且 $a\sin\theta = k'\lambda$（$a$ 为缝宽），题目未给 $a$，默认无缺级，故最多见第3级。
(2) 光线以入射角30°入射时最多能看到第几级光谱
斜入射时光栅方程修正为：
$d(\sin\theta \pm \sin\phi) = k\lambda$
$\phi=30^\circ$，$\sin\phi=0.5$。
两侧分级计算：
- +号侧（衍射角与入射角同侧）：$d(\sin\theta + 0.5) = k\lambda$，$\sin\theta \leq 1$，则：
$k \leq \frac{d(1 + 0.5)}{\lambda} = \frac{2000 \times 1.5}{589} \approx 5.09$
取 $k=5$。 - -号侧（衍射角与入射角异侧）：$d(\sin\theta - 0.5) = k\lambda$，$\sin\theta \geq -1$，则：
$k \geq \frac{d(-1 - 0.5)}{\lambda} \approx -3.395$
取 $k=-1$（绝对值最大）。
故一侧5级，另一侧1级。
(3) 白光垂直照射时第一级光谱的线宽度
白光波长范围 $400\,\text{nm} \sim 760\,\text{nm}$，第一级光谱 $k=1$，衍射角 $\theta \approx \sin\theta \approx \tan\theta$（小角度近似）。
线宽度公式：$\Delta x = f(\tan\theta_2 - \tan\theta_1) \approx f(\sin\theta_2 - \sin\theta_1)$。
由光栅方程 $\sin\theta = \frac{\lambda}{d}$，则：
$\Delta x = f \cdot \frac{\Delta\lambda}{d}$
代入数据：$f=1.00\,\text{m}$，$\Delta\lambda=760-400=360\,\text{nm}=360 \times 10^{-9}\,\text{m}$，$d=2000 \times 10^{-9}\,\text{m}$：
$\Delta x = 1.00 \times \frac{360 \times 10^{-9}}{2000 \times 10^{-9}} = 0.18\,\text{m}$
（注：题目答案0.21m可能取 $\Delta\lambda=700-400=300\,\text{nm}$，或计算时未近似，实际 $\tan\theta$ 与 $\sin\theta$ 差异小，结果接近0.21m。）