题目
31.（5.0分）求函数f(x)=2x^3-3x^2+1的单调区间与极值.
31.（5.0分）求函数$f(x)=2x^{3}-3x^{2}+1$的单调区间与极值.
题目解答
答案
求导得 $ f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1) $。令 $ f'(x) = 0 $，解得 $ x = 0 $ 或 $ x = 1 $。
分析导数符号：
- 当 $ x < 0 $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数单调递增；
- 当 $ 0 < x < 1 $ 时，$ f'(x) < 0 $，函数单调递减；
- 当 $ x > 1 $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数单调递增。
极值：
- $ x = 0 $ 处，导数变号（正→负），为极大值点，$ f(0) = 1 $；
- $ x = 1 $ 处，导数变号（负→正），为极小值点，$ f(1) = 0 $。
**答案：**
单调增区间：$ (-\infty, 0) $，$ (1, +\infty) $；
单调减区间：$ (0, 1) $；
极大值：$ f(0) = 1 $；
极小值：$ f(1) = 0 $。
解析
步骤 1：求导数
对函数 $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+1$ 求导，得到 $f'(x)=6x^{2}-6x$。
步骤 2：求导数为零的点
令 $f'(x)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=1$。
步骤 3：分析导数符号
- 当 $x<0$ 时，$f'(x)>0$，函数单调递增；
- 当 $0- 当 $x>1$ 时，$f'(x)>0$，函数单调递增。
步骤 4：求极值
- $x=0$ 处，导数变号（正→负），为极大值点，$f(0)=1$；
- $x=1$ 处，导数变号（负→正），为极小值点，$f(1)=0$。
对函数 $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+1$ 求导，得到 $f'(x)=6x^{2}-6x$。
步骤 2：求导数为零的点
令 $f'(x)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=1$。
步骤 3：分析导数符号
- 当 $x<0$ 时，$f'(x)>0$，函数单调递增；
- 当 $0
步骤 4：求极值
- $x=0$ 处，导数变号（正→负），为极大值点，$f(0)=1$；
- $x=1$ 处，导数变号（负→正），为极小值点，$f(1)=0$。