题目
袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),-|||-在袋中任取一枚,将它投掷r次,已知每次都得到国徽.问这枚硬币是正品的概.-|||-率为多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设事件A为“取到的是正品硬币”，事件$\overline{A}$为“取到的是次品硬币”，事件T为“投掷r次每次都得到国徽”。
步骤 2：计算先验概率
根据题设，袋中正品硬币和次品硬币的总数为m+n，因此取到正品硬币的概率为$P(A)=\dfrac{m}{m+n}$，取到次品硬币的概率为$P(\overline{A})=\dfrac{n}{m+n}$。
步骤 3：计算条件概率
对于正品硬币，投掷r次每次都得到国徽的概率为$P(T|A)=\dfrac{1}{{2}^{r}}$，因为每次投掷得到国徽的概率为$\dfrac{1}{2}$，r次独立投掷都得到国徽的概率为$\dfrac{1}{{2}^{r}}$。
对于次品硬币，因为两面均印有国徽，所以投掷r次每次都得到国徽的概率为$P(T|\overline{A})=1$。
步骤 4：应用贝叶斯公式
根据贝叶斯公式，所求概率为$P(A|T)=\dfrac{P(T|A)P(A)}{P(T)}$，其中$P(T)$为投掷r次每次都得到国徽的总概率，可以表示为$P(T)=P(T|A)P(A)+P(T|\overline{A})P(\overline{A})$。
步骤 5：计算$P(T)$
$P(T)=P(T|A)P(A)+P(T|\overline{A})P(\overline{A})=\dfrac{1}{{2}^{r}}\times \dfrac{m}{m+n}+1\times \dfrac{n}{m+n}=\dfrac{m}{{2}^{r}(m+n)}+\dfrac{n}{m+n}$。
步骤 6：计算$P(A|T)$
$P(A|T)=\dfrac{P(T|A)P(A)}{P(T)}=\dfrac{\dfrac{1}{{2}^{r}}\times \dfrac{m}{m+n}}{\dfrac{m}{{2}^{r}(m+n)}+\dfrac{n}{m+n}}=\dfrac{m}{m+{2}^{r}n}$。
设事件A为“取到的是正品硬币”，事件$\overline{A}$为“取到的是次品硬币”，事件T为“投掷r次每次都得到国徽”。
步骤 2：计算先验概率
根据题设，袋中正品硬币和次品硬币的总数为m+n，因此取到正品硬币的概率为$P(A)=\dfrac{m}{m+n}$，取到次品硬币的概率为$P(\overline{A})=\dfrac{n}{m+n}$。
步骤 3：计算条件概率
对于正品硬币，投掷r次每次都得到国徽的概率为$P(T|A)=\dfrac{1}{{2}^{r}}$，因为每次投掷得到国徽的概率为$\dfrac{1}{2}$，r次独立投掷都得到国徽的概率为$\dfrac{1}{{2}^{r}}$。
对于次品硬币，因为两面均印有国徽，所以投掷r次每次都得到国徽的概率为$P(T|\overline{A})=1$。
步骤 4：应用贝叶斯公式
根据贝叶斯公式，所求概率为$P(A|T)=\dfrac{P(T|A)P(A)}{P(T)}$，其中$P(T)$为投掷r次每次都得到国徽的总概率，可以表示为$P(T)=P(T|A)P(A)+P(T|\overline{A})P(\overline{A})$。
步骤 5：计算$P(T)$
$P(T)=P(T|A)P(A)+P(T|\overline{A})P(\overline{A})=\dfrac{1}{{2}^{r}}\times \dfrac{m}{m+n}+1\times \dfrac{n}{m+n}=\dfrac{m}{{2}^{r}(m+n)}+\dfrac{n}{m+n}$。
步骤 6：计算$P(A|T)$
$P(A|T)=\dfrac{P(T|A)P(A)}{P(T)}=\dfrac{\dfrac{1}{{2}^{r}}\times \dfrac{m}{m+n}}{\dfrac{m}{{2}^{r}(m+n)}+\dfrac{n}{m+n}}=\dfrac{m}{m+{2}^{r}n}$。