题目

袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽),-|||-在袋中任取一枚,将它投掷r次,已知每次都得到国徽.问这枚硬币是正品的概.-|||-率为多少?

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要结合实际问题建立概率模型并进行计算。

解题核心思路：

  1. 明确事件定义：设事件$A$为“取到正品硬币”，事件$\overline{A}$为“取到次品硬币”，事件$T$为“投掷$r$次均出现国徽”。
  2. 计算先验概率：$P(A)$和$P(\overline{A})$分别表示取到正品和次品硬币的概率。
  3. 计算条件概率：$P(T|A)$和$P(T|\overline{A})$分别表示在正品和次品硬币下，投掷结果均为国徽的概率。
  4. 应用贝叶斯定理：通过公式$P(A|T) = \frac{P(T|A)P(A)}{P(T)}$，其中$P(T)$需通过全概率公式计算。

破题关键点：

  • 区分正品与次品硬币的特性：正品硬币国徽概率为$\frac{1}{2}$，次品硬币国徽概率为$1$。
  • 正确代入贝叶斯公式：注意分子和分母的表达式推导。

步骤1：定义事件与先验概率

  • 事件定义：
    • $A$：取到正品硬币，概率$P(A) = \dfrac{m}{m+n}$。
    • $\overline{A}$：取到次品硬币，概率$P(\overline{A}) = \dfrac{n}{m+n}$。
    • $T$：投掷$r$次均出现国徽。

步骤2：计算条件概率

  • 正品硬币的条件概率：
    正品硬币每次国徽概率为$\frac{1}{2}$，独立重复试验$r$次，故
    $P(T|A) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^r.$

  • 次品硬币的条件概率：
    次品硬币两面均为国徽，故每次必然出现国徽，
    $P(T|\overline{A}) = 1.$

步骤3：应用贝叶斯定理

  • 全概率公式计算$P(T)$：
    $P(T) = P(T|A)P(A) + P(T|\overline{A})P(\overline{A}) = \dfrac{m}{m+n} \cdot \dfrac{1}{2^r} + \dfrac{n}{m+n} \cdot 1.$

  • 代入贝叶斯公式：
    $P(A|T) = \dfrac{P(T|A)P(A)}{P(T)} = \dfrac{\dfrac{m}{m+n} \cdot \dfrac{1}{2^r}}{\dfrac{m}{m+n} \cdot \dfrac{1}{2^r} + \dfrac{n}{m+n} \cdot 1}.$

步骤4：化简表达式

  • 分子与分母提取公共因子：
    分子：$\dfrac{m}{(m+n)2^r}$，
    分母：$\dfrac{m}{(m+n)2^r} + \dfrac{n}{m+n} = \dfrac{m + n2^r}{(m+n)2^r}$.

  • 最终化简：
    $P(A|T) = \dfrac{m}{m + n2^r}.$