题目
求函数 f(t) = } 0, & t leq 0 e^-beta t, & t > 0 的频谱函数及其频谱.
求函数 $f(t) = \begin{cases} 0, & t \leq 0 \\ e^{-\beta t}, & t > 0 \end{cases}$ 的频谱函数及其频谱.
题目解答
答案
函数 $ f(t) $ 的傅里叶变换为：
\[
F(\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-\beta t} e^{-i\omega t} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(\beta + i\omega)t} \, dt = \frac{1}{\beta + i\omega}
\]
将 $ F(\omega) $ 转化为标准复数形式：
\[
F(\omega) = \frac{\beta}{\beta^2 + \omega^2} - i \frac{\omega}{\beta^2 + \omega^2}
\]
其中，振幅谱为：
\[
|F(\omega)| = \sqrt{\left( \frac{\beta}{\beta^2 + \omega^2} \right)^2 + \left( \frac{-\omega}{\beta^2 + \omega^2} \right)^2} = \frac{1}{\sqrt{\beta^2 + \omega^2}}
\]
相位谱为：
\[
\arg(F(\omega)) = -\tan^{-1} \left( \frac{\omega}{\beta} \right)
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ccc}
\text{频谱函数：} & F(\omega) = \frac{1}{\beta + i\omega} \\
\text{振幅谱：} & |F(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{\beta^2 + \omega^2}} \\
\text{相位谱：} & \arg(F(\omega)) = -\tan^{-1} \left( \frac{\omega}{\beta} \right)
\end{array}
}
\]