题目
设直线 =ax(0lt alt 1) 与抛物线 =(x)^2 所围图形面积为S1,它们与直-|||-线 x=1 所围成的图形面积为S2.-|||-(1)试确定a的值,使 _(1)+(S)_(2) 达到最小,并求出最小值.-|||-(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算S1
首先，我们计算直线 $y=ax$ 与抛物线 $y=x^2$ 所围图形的面积 $S_1$。这两个函数的交点为 $(a, a^2)$。因此，$S_1$ 可以表示为：
$$
S_1 = \int_{0}^{a} (ax - x^2) dx
$$
步骤 2：计算S2
接下来，我们计算直线 $y=ax$、抛物线 $y=x^2$ 与直线 $x=1$ 所围成的图形面积 $S_2$。$S_2$ 可以表示为：
$$
S_2 = \int_{a}^{1} (x^2 - ax) dx
$$
步骤 3：求 $S_1 + S_2$ 的最小值
将 $S_1$ 和 $S_2$ 相加，得到 $S_1 + S_2$ 的表达式。然后，对 $a$ 求导，找到使 $S_1 + S_2$ 达到最小值的 $a$ 值。
步骤 4：计算旋转体的体积
最后，我们计算该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。体积 $V_x$ 可以表示为：
$$
V_x = \pi \int_{0}^{a} (ax)^2 dx + \pi \int_{a}^{1} (x^2)^2 dx
$$
首先，我们计算直线 $y=ax$ 与抛物线 $y=x^2$ 所围图形的面积 $S_1$。这两个函数的交点为 $(a, a^2)$。因此，$S_1$ 可以表示为：
$$
S_1 = \int_{0}^{a} (ax - x^2) dx
$$
步骤 2：计算S2
接下来，我们计算直线 $y=ax$、抛物线 $y=x^2$ 与直线 $x=1$ 所围成的图形面积 $S_2$。$S_2$ 可以表示为：
$$
S_2 = \int_{a}^{1} (x^2 - ax) dx
$$
步骤 3：求 $S_1 + S_2$ 的最小值
将 $S_1$ 和 $S_2$ 相加，得到 $S_1 + S_2$ 的表达式。然后，对 $a$ 求导，找到使 $S_1 + S_2$ 达到最小值的 $a$ 值。
步骤 4：计算旋转体的体积
最后，我们计算该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。体积 $V_x$ 可以表示为：
$$
V_x = \pi \int_{0}^{a} (ax)^2 dx + \pi \int_{a}^{1} (x^2)^2 dx
$$