.要造一个体积等于定数k的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,方可使它的表-|||-面积最小.

本题考查利用拉格朗日乘数法求条件极值来解决实际问题，解题思路是先设出长方体水池的长、宽、高，根据体积为定数$k$得到约束条件，再写出表面积的表达式，然后构造拉格朗日函数，通过求偏导数并令其为$0$，解方程组得到可能的极值点，最后根据实际问题判断该点即为最小值点。

设长方体水池的长、宽、高分别为$x$、$y$、$z$（$x\gt0$，$y\gt0$，$z\gt0$）。

• 步骤一：根据已知条件列出体积和表面积的表达式
  • 已知水池体积等于定数$k$，根据长方体体积公式$V = xyz$，可得约束条件$xyz = k$。
  • 由于水池无盖，所以其表面积$S = xy + 2xz + 2yz$。
• 步骤二：构造拉格朗日函数
  设$F(x,y,z,\lambda)=xy + 2xz + 2yz + \lambda(xyz - k)$。
• 步骤三：求偏导数并令其为$0$
  • 对$x$求偏导数：
    $F_{x}=\frac{\partial F}{\partial x}=y + 2z + \lambda yz = 0$ ①
  • 对$y$求偏导数：
    $F_{y}=\frac{\partial F}{\partial y}=x + 2z + \lambda xz = 0$ ②
  • 对$z$求偏导数：
    $F_{z}=\frac{\partial F}{\partial z}=2x + 2y + \lambda xy = 0$ ③
  • 对$\lambda$求偏导数：
    $F_{\lambda}=\frac{\partial F}{\partial \lambda}=xyz - k = 0$ ④
• 步骤四：解方程组
  由①得$\lambda = -\frac{y + 2z}{yz}=-\frac{1}{z}-\frac{2}{y}$；
  由②得$\lambda = -\frac{x + 2z}{xz}=-\frac{1}{z}-\frac{2}{x}$；
  由③得$\lambda = -\frac{2x + 2y}{xy}=-\frac{2}{y}-\frac{2}{x}$。
  由$-\frac{1}{z}-\frac{2}{y}=-\frac{1}{z}-\frac{2}{x}$，可得$\frac{2}{y}=\frac{2}{x}$，即$x = y$。
  将$x = y$代入④得$x^{2}z = k$，即$z = \frac{k}{x^{2}}$。
  把$x = y$和$z = \frac{k}{x^{2}}$代入③得：
  $2x + 2x + \lambda x^{2} = 0$，即$4x + \lambda x^{2} = 0$，因为$x\gt0$，所以$4 + \lambda x = 0$，则$\lambda = -\frac{4}{x}$。
  又因为$\lambda = -\frac{2}{x}-\frac{2}{z}$，所以$-\frac{4}{x}=-\frac{2}{x}-\frac{2}{z}$，即$\frac{2}{x}=\frac{2}{z}$，可得$x = z$。
  结合$x = y$，则$x = y = z$，代入④得$x^{3} = k$，解得$x = \sqrt[3]{k}$。
  所以$x = y = \sqrt[3]{2k}$，$z = \frac{1}{2}\sqrt[3]{2k}$。
• 步骤五：根据实际问题判断
  根据实际情况，表面积一定存在最小值，而通过拉格朗日乘数法只得到了一个可能的极值点，所以当长、宽都是$\sqrt[3]{2k}$，高为$\frac{1}{2}\sqrt[3]{2k}$时，表面积最小。