题目

用行列式求解下列方程组，则x1=(第一空)，x2=(第二空)，x3=(第三空)[}x_1 + x_2 = 2 x_2 + 2x_3 = 4 x_3 + x_1 = 1]

用行列式求解下列方程组，则$x1=(第一空)$，$x2=(第二空)$，$x3=(第三空)$ $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_2 + 2x_3 = 4 \\ x_3 + x_1 = 1 \end{cases}$

题目解答

答案

将方程组写为矩阵形式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，其中 \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}. \] 计算系数矩阵 $A$ 的行列式： \[ D = \det(A) = 1 \times (1 \times 1 - 2 \times 0) - 1 \times (0 \times 1 - 2 \times 1) + 0 = 1 + 2 = 3. \] 依次计算 $D_1$、$D_2$、$D_3$： \[ D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \times (1 \times 1 - 2 \times 0) - 1 \times (4 \times 1 - 2 \times 1) = 2 - 2 = 0, \] \[ D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times (4 \times 1 - 2 \times 1) - 2 \times (0 \times 1 - 2 \times 1) = 2 + 4 = 6, \] \[ D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times (1 \times 1 - 4 \times 0) - 1 \times (0 \times 1 - 4 \times 1) + 2 \times (0 \times 0 - 1 \times 1) = 1 + 4 - 2 = 3. \] 由克拉默法则，得 \[ x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{0}{3} = 0, \quad x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{6}{3} = 2, \quad x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{3}{3} = 1. \] **答案：** $\boxed{0, 2, 1}$

解析

本题考查利用克拉默法则求解线性方程组。解题思路是先将方程组写成矩阵形式$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，然后计算系数矩阵$A$的行列式$D$，接着分别计算用常数项向量$\mathbf{b}$替换$A$的第$1$、$2$、$3$列后得到的矩阵的行列式$D_1$、$D_2$、$D_3$，最后根据克拉默法则$x_i=\frac{D_i}{D}(i = 1,2,3)$求出方程组的解。

步骤一：将方程组写成矩阵形式

已知方程组$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_2 + 2x_3 = 4 \\ x_3 + x_1 = 1 \end{cases}$，可写成矩阵形式$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，其中
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$。

步骤二：计算系数矩阵$A$的行列式$D$

根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，可得：
$D = \det(A) = 1\times\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}$
$=1\times(1\times1 - 2\times0) - 1\times(0\times1 - 2\times1)+0$
$=1\times(1 - 0) - 1\times(0 - 2)$
$=1\times1 - 1\times(-2)$
$=1 + 2 = 3$

步骤三：依次计算$D_1$、$D_2$、$D_3$

  • 计算$D_1$：
    $D_1$是用常数项向量$\mathbf{b}$替换$A$的第$1$列后得到的矩阵的行列式，即
    $D_1 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
    $=2\times\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}4&2\\1&1\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}4&1\\1&0\end{vmatrix}$
    $=2\times(1\times1 - 2\times0) - 1\times(4\times1 - 2\times1)+0$
    $=2\times(1 - 0) - 1\times(4 - 2)$
    $=2\times1 - 1\times2$
    $=2 - 2 = 0$
  • 计算$D_2$：
    $D_2$是用常数项向量$\mathbf{b}$替换$A$的第$2$列后得到的矩阵的行列式，即
    $D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
    $=1\times\begin{vmatrix}4&2\\1&1\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix}+0\times\begin{vmatrix}0&4\\1&1\end{vmatrix}$
    $=1\times(4\times1 - 2\times1) - 2\times(00\times1 - 2\times1)+0$
    $=1\times(4 - 2) - 2\times(0 - 2)$
    $=1\times2 - 2\times(-2)$
    $=2 + 4 = 6$
  • 计算$D_3$：
    $D_3$是用常数项向量$\mathbf{b}$替换$A$的第$3$列后得到的矩阵的行列式，即
    $D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
    $=1\times\begin{vmatrix}1&4\\0&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}0&4\\1&1\end{vmatrix}+2\times\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}$
    $=1\times(1\times1 - 4\times0) - 1\times(0\times1 - 4\times1)+2\times(0\times0 - 1\times1)$
    $=1\times(1 - 0) - 1\times(0 - 4)+2\times(0 - 1)$
    $=1\times1 - 1\times(-4)+2\times(-1)$
    $=1 + 4 - 2 = 3$

步骤四：根据克拉默法则求解$x_1$、$x_2$、$x_3$

克拉默法则为$x_i=\frac{D_i}{D}(i = 1,2,3)$，则：
$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{0}{3} = 00$
$x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{6}{3} = 2$
$x_3 = \frac{D_3}{D} = \frac{3}{3} = 1$