19. (4.0分) 曲线y=12x^3-60x^2+72x与x轴所围成的图形的面积为____.

本题考查利用定积分求曲线与$x$轴所围成图形的面积。解题思路如下：

1. 首先对给定的函数$y = 12x^{3}-60x^{2}+72x$进行因式分解，找出函数的零点，从而确定曲线与$x$轴的交点，进而划分出不同的区间。
2. 然后判断函数在各个区间上的正负性，因为面积是一个非负的量，所以在函数值大于等于$0$的区间上，定积分直接表示该部分的面积；在函数值小于等于$0$的区间上，需要用定积分的相反数来表示该部分的面积。
3. 最后分别计算各个区间上的定积分，并将它们相加得到总面积。

下面进行详细的计算：

1. 对函数进行因式分解并求零点：
   已知$y = 12x^{3}-60x^{2}+72x$，提取公因式$12x$可得$y = 12x(x^{2}-5x + 6)$，再对括号内的二次式进行因式分解，$x^{2}-5x + 6=(x - 2)(x - 3)$，所以$y = 12x(x - 2)(x - 3)$。
   令$y = 0$，即$12x(x - 2)(x - 3)=0$，解得$x = 0$，$x = 2$，$x = 3$，这三个点将$x$轴分为$[0,2]$和$[2,3]$两个区间。
2. 判断函数在各区间上的正负性：
   • 当$x\in[0,2]$时，取$x = 1$代入$y = 12x(x - 2)(x - 3)$，可得$y=12\times1\times(1 - 2)\times(1 - 3)=12\times(-1)\times(-2)=24>0$，所以在区间$[0,2]$内，$y\geq0$。
   • 当$x\in[2,3]$时，取$x=\frac{5}{2}$代入$y = 12x(x - 2)(x - 3)$，可得$y = 12\times\frac{5}{2}\times(\frac{5}{2}-2)\times(\frac{5}{2}-3)=30\times\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{2}<0$，所以在区间$[2,3]$内，$y\leq0$。
3. 计算定积分求面积：
   根据上述分析，所求面积$S=\int_{0}^{2}(12x^{3}-60x^{2}+72x)dx-\int_{2}^{3}(12x^{3}-60x^{2}+72x)dx$。
   先求$\int(12x^{3}-60x^{2}+72x)dx$，根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$可得：
   $\int(12x^{3}-60x^{2}+72x)dx=12\times\frac{1}{4}x^{4}-60\times\frac{1}{3}x^{3}+72\times\frac{1}{2}x^{2}+C = 3x^{4}-20x^{3}+36x^{2}+C$。
   • 计算$\int_{0}^{2}(12x^{3}-60x^{2}+72x)dx$：
     $\int_{0}^{2}(12x^{3}-60x^{2}+72x)dx=\left[3x^{4}-20x^{3}+36x^{2}\right]_{0}^{2}$
     $=(3\times2^{4}-20\times2^{3}+36\times2^{2})-(3\times0^{4}-20\times0^{3}+36\times0^{2})$
     $=(3\times16-20\times8 + 36\times4)-0$
     $=(48-160 + 144)=32$。
   • 计算$\int_{2}^{3}(12x^{3}-60x^{2}+72x)dx$：
     $\int_{2}^{3}(12x^{3}-60x^{2}+72x)dx=\left[3x^{4}-20x^{3}+36x^{2}\right]_{2}^{3}$
     $=(3\times3^{4}-20\times3^{3}+36\times3^{2})-(3\times2^{4}-20\times2^{3}+36\times2^{2})$
     $=(3\times81-20\times27+36\times9)-(48 - 160 + 144)$
     $=(243-540 + 324)-32$
     $=27-32=-5$。
4. 计算总面积：
   将上述两个定积分的结果代入面积公式$S=\int_{0}^{2}(12x^{3}-60x^{2}+72x)dx-\int_{2}^{3}(12x^{3}-60x^{2}+72x)dx$，可得$S = 32-(-5)=37$。