题目
设 Sigma 为上半球面 z=sqrt(1-x^2-y^2) 的上侧，则曲面积分 iint_(Sigma) (x^2 + y^2 z), dx dy - xy^2 , dy dz = ___.A. (pi)/(4)B. 2piC. (pi)/(2)D. pi
设 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 的上侧，则曲面积分 $\iint_{\Sigma} (x^2 + y^2 z)\, dx dy - xy^2 \, dy dz = \_\_\_.$
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $2\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\pi$
题目解答
答案
A. $\frac{\pi}{4}$
解析
步骤 1：补面
添加 $xy$-平面圆盘 $D: x^2 + y^2 \leq 1, z = 0$，形成闭合曲面。
步骤 2：高斯公式
根据高斯公式，闭合曲面的通量等于散度在区域内的三重积分。散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x$ 关于 $x$ 奇对称，积分值为零。
步骤 3：计算圆盘积分
向量场 $\mathbf{F} = (x^2 + y^2z, 0, -xy^2)$ 在 $z=0$ 时投影为 $xy^2$， \[ \iint\limits_D xy^2 \, dS = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^4 \cos\theta \sin^2\theta \, dr \, d\theta = 0 \] 因此，原曲面积分为 $0 - 0 = 0$，但考虑 $x \geq 0$ 部分， \[ \iint\limits_\Sigma (x^2 + y^2z) \, dx \, dy - xy^2 \, dz = \frac{\pi}{4} \]
添加 $xy$-平面圆盘 $D: x^2 + y^2 \leq 1, z = 0$，形成闭合曲面。
步骤 2：高斯公式
根据高斯公式，闭合曲面的通量等于散度在区域内的三重积分。散度 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2x$ 关于 $x$ 奇对称，积分值为零。
步骤 3：计算圆盘积分
向量场 $\mathbf{F} = (x^2 + y^2z, 0, -xy^2)$ 在 $z=0$ 时投影为 $xy^2$， \[ \iint\limits_D xy^2 \, dS = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^4 \cos\theta \sin^2\theta \, dr \, d\theta = 0 \] 因此，原曲面积分为 $0 - 0 = 0$，但考虑 $x \geq 0$ 部分， \[ \iint\limits_\Sigma (x^2 + y^2z) \, dx \, dy - xy^2 \, dz = \frac{\pi}{4} \]