题目
解微分方程((x)^2+(y)^2)dx-xydy=0.
解微分方程
.
题目解答
答案
因为
所以有
所以
（1）
令
所以式（1）变为
即
,分离变量有
两边积分
,即
,将
代入得
，即
所以
解析
步骤 1：将微分方程变形
将微分方程$({x}^{2}+{y}^{2})dx-xydy=0$变形为$({x}^{2}+{y}^{2})dx=xydy$，从而得到$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}=\dfrac {x}{y}+\dfrac {y}{x}$。
步骤 2：引入变量替换
令$\dfrac {y}{x}=u$，则$y=xu$，$\dfrac {dy}{dx}=u+x\dfrac {du}{dx}$。将这些表达式代入步骤1得到的方程中，得到$u+x\dfrac {du}{dx}=\dfrac {1}{u}+u$。
步骤 3：分离变量并积分
将步骤2中的方程变形为$x\dfrac {du}{dx}=\dfrac {1}{u}$，分离变量得到$udu=\dfrac {1}{x}dx$。对两边积分，得到$\int udu=\int \dfrac {1}{x}dx$，即$\dfrac {1}{2}u^2=\ln |x|+C$，其中$C$是积分常数。
步骤 4：代回原变量
将$u=\dfrac {y}{x}$代入步骤3得到的方程中，得到$\dfrac {1}{2}\dfrac {y^2}{x^2}=\ln |x|+C$，即$y^2=2x^2(\ln |x|+C)$。
将微分方程$({x}^{2}+{y}^{2})dx-xydy=0$变形为$({x}^{2}+{y}^{2})dx=xydy$，从而得到$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}=\dfrac {x}{y}+\dfrac {y}{x}$。
步骤 2：引入变量替换
令$\dfrac {y}{x}=u$，则$y=xu$，$\dfrac {dy}{dx}=u+x\dfrac {du}{dx}$。将这些表达式代入步骤1得到的方程中，得到$u+x\dfrac {du}{dx}=\dfrac {1}{u}+u$。
步骤 3：分离变量并积分
将步骤2中的方程变形为$x\dfrac {du}{dx}=\dfrac {1}{u}$，分离变量得到$udu=\dfrac {1}{x}dx$。对两边积分，得到$\int udu=\int \dfrac {1}{x}dx$，即$\dfrac {1}{2}u^2=\ln |x|+C$，其中$C$是积分常数。
步骤 4：代回原变量
将$u=\dfrac {y}{x}$代入步骤3得到的方程中，得到$\dfrac {1}{2}\dfrac {y^2}{x^2}=\ln |x|+C$，即$y^2=2x^2(\ln |x|+C)$。