11. (20.0分) 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2%、1%、3%，试求市场上该品牌产品的次品率。

考查要点：本题主要考查全概率公式的应用，要求根据各部分的概率及其条件概率，计算整体事件的概率。

解题核心思路：
将市场占有率视为各工厂产品的先验概率，次品率视为在各工厂产品下的条件概率，利用全概率公式将各部分的贡献相加，得到市场上产品的总次品率。

破题关键点：

1. 明确各工厂的市场占有率（先验概率）和对应的次品率（条件概率）。
2. 正确代入全概率公式，避免混淆市场占有率与次品率的对应关系。

设 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 分别表示甲、乙、丙厂的产品，$B$ 表示次品。已知：

• 市场占有率：$P(A_1) = \frac{1}{4}$，$P(A_2) = \frac{1}{4}$，$P(A_3) = \frac{1}{2}$
• 次品率：$P(B|A_1) = 2\% = \frac{2}{100}$，$P(B|A_2) = 1\% = \frac{1}{100}$，$P(B|A_3) = 3\% = \frac{3}{100}$

根据全概率公式：
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$

代入数值计算：

1. 甲厂的贡献：
   $\frac{1}{4} \times \frac{2}{100} = \frac{2}{400}$
2. 乙厂的贡献：
   $\frac{1}{4} \times \frac{1}{100} = \frac{1}{400}$
3. 丙厂的贡献：
   $\frac{1}{2} \times \frac{3}{100} = \frac{6}{400}$

总和：
$P(B) = \frac{2}{400} + \frac{1}{400} + \frac{6}{400} = \frac{9}{400}$