2020年第二学期期末考试-|||-(判断题2分),设λ是对称矩阵A的特征值,a1,a2是对应于λ的特征向量,则a1和a2一定线性相关。-|||-A,正确-|||-B 错误

本题考查对称矩阵特征值值与特征向量的性质以及线性相关的概念概念。解题思路是先明确对称矩阵对应同一特征值的特征向量的特点，再根据线性相关的定义判断方法来分析$\alpha_1$和$\alpha_2$的线性相关性。

• 对于对称矩阵$A$，若$\lambda$是其特征值，那么对应于$\lambda$的特征向量构成一个向量空间，这个向量空间中的向量有无数无数个。
• 设$\alpha_1,\alpha_2$是对应于特征值$\lambda$的特征的特征向量，根据特征向量的性质，对于任意非零常数$k_1,k_2$，$1)若\(\alpha_1,\alpha_2$线性相关，则存在不全为零的实数$k_1,k_2$，使得$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$。例如，当$\alpha_2 = 2\alpha_1$时，取$k_1 = 2,k_2=-1$，就有$2\alpha_1+(-1)\alpha_2=2\alpha_1 - 2\alpha_1 = 0$，此时$\alpha_1,\alpha_2$线性相关。
• (2)若$\alpha_1,\,\,\\)，根据线性无关的定义，对于任意实数\(k_1,k_2$，若$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 = 0$，则只能推出$k_1 = k_2 = 0$，此时$\alpha_1,\alpha_2$线性无关。
• 所以，对应于同一特征值$\lambda$的两个特征向量$\alpha_1,\alpha_2$可能线性相关，也可能线性无关，并非一定线性相关。