题目
24. (4.0分) [判断题] 若函数f(x)是连续函数则有F(t)=int_(1)^tdyint_(y)^tf(x)dx=int_(1)^t(t-x)f(x)dx.A 对B 错
24. (4.0分) [判断题] 若函数f(x)是连续函数则有$F(t)=\int_{1}^{t}dy\int_{y}^{t}f(x)dx=\int_{1}^{t}(t-x)f(x)dx.$
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断给定的等式是否正确，我们需要评估等式左边的表达式，并看它是否等于等式右边的表达式。给定的等式是：
\[ F(t) = \int_{1}^{t} dy \int_{y}^{t} f(x) dx = \int_{1}^{t} (t-x) f(x) dx. \]
让我们从等式的左边开始。表达式 $\int_{1}^{t} dy \int_{y}^{t} f(x) dx$ 是一个迭代积分。我们可以改变积分的顺序。积分区域由 $1 \leq y \leq t$ 和 $y \leq x \leq t$ 定义。这可以重写为 $1 \leq x \leq t$ 和 $1 \leq y \leq x$。因此，我们可以将积分重写为：
\[ F(t) = \int_{1}^{t} dx \int_{1}^{x} f(x) dy. \]
现在，我们可以评估内积分 $\int_{1}^{x} f(x) dy$。由于 $f(x)$ 关于 $y$ 是常数，我们可以将其从积分中提出：
\[ \int_{1}^{x} f(x) dy = f(x) \int_{1}^{x} dy = f(x) (x-1+1) = f(x) (t-1+1) = f(x) (t-x). \]
因此，积分变为：
\[ F(t) = \int_{1}^{t} (t-x) f(x) dx. \]
这与等式的右边相匹配。因此，给定的等式是正确的。
答案是 $\boxed{A}$.
解析
步骤 1：理解给定的等式
给定的等式是：\[ F(t) = \int_{1}^{t} dy \int_{y}^{t} f(x) dx = \int_{1}^{t} (t-x) f(x) dx. \] 我们需要验证这个等式是否成立。
步骤 2：改变积分顺序
表达式 $\int_{1}^{t} dy \int_{y}^{t} f(x) dx$ 是一个迭代积分。积分区域由 $1 \leq y \leq t$ 和 $y \leq x \leq t$ 定义。这可以重写为 $1 \leq x \leq t$ 和 $1 \leq y \leq x$。因此，我们可以将积分重写为：\[ F(t) = \int_{1}^{t} dx \int_{1}^{x} f(x) dy. \]
步骤 3：计算内积分
现在，我们可以评估内积分 $\int_{1}^{x} f(x) dy$。由于 $f(x)$ 关于 $y$ 是常数，我们可以将其从积分中提出：\[ \int_{1}^{x} f(x) dy = f(x) \int_{1}^{x} dy = f(x) (x-1+1) = f(x) (x-1+1) = f(x) (t-x). \] 因此，积分变为：\[ F(t) = \int_{1}^{t} (t-x) f(x) dx. \]
步骤 4：验证等式
我们已经证明了等式的左边等于等式的右边，即：\[ F(t) = \int_{1}^{t} dy \int_{y}^{t} f(x) dx = \int_{1}^{t} (t-x) f(x) dx. \] 因此，给定的等式是正确的。
给定的等式是：\[ F(t) = \int_{1}^{t} dy \int_{y}^{t} f(x) dx = \int_{1}^{t} (t-x) f(x) dx. \] 我们需要验证这个等式是否成立。
步骤 2：改变积分顺序
表达式 $\int_{1}^{t} dy \int_{y}^{t} f(x) dx$ 是一个迭代积分。积分区域由 $1 \leq y \leq t$ 和 $y \leq x \leq t$ 定义。这可以重写为 $1 \leq x \leq t$ 和 $1 \leq y \leq x$。因此，我们可以将积分重写为：\[ F(t) = \int_{1}^{t} dx \int_{1}^{x} f(x) dy. \]
步骤 3：计算内积分
现在，我们可以评估内积分 $\int_{1}^{x} f(x) dy$。由于 $f(x)$ 关于 $y$ 是常数，我们可以将其从积分中提出：\[ \int_{1}^{x} f(x) dy = f(x) \int_{1}^{x} dy = f(x) (x-1+1) = f(x) (x-1+1) = f(x) (t-x). \] 因此，积分变为：\[ F(t) = \int_{1}^{t} (t-x) f(x) dx. \]
步骤 4：验证等式
我们已经证明了等式的左边等于等式的右边，即：\[ F(t) = \int_{1}^{t} dy \int_{y}^{t} f(x) dx = \int_{1}^{t} (t-x) f(x) dx. \] 因此，给定的等式是正确的。