证明：当x＞1时，(ln（1+x）)/(lnx)＞(x)/(1+x)．

考查要点：本题主要考查利用函数单调性证明不等式的能力，涉及对数函数的性质及导数的应用。

解题核心思路：

1. 等价变形：将原不等式转化为更易处理的形式，关键在于构造适当的函数。
2. 构造函数：定义函数$F(x) = x \ln x$，通过分析其单调性比较$F(x+1)$与$F(x)$的大小。
3. 导数判断单调性：通过求导证明$F(x)$在$x > 1$时单调递增，从而得出结论。

破题关键点：

• 识别变形方向：通过两边同乘$\ln x$（正数）将原式转化为比较$(x+1)\ln(x+1)$与$x \ln x$。
• 函数构造的合理性：选择$F(x) = x \ln x$，使其值恰好对应变形后的不等式两边。
• 导数应用：通过$F'(x) = \ln x + 1 > 0$（当$x > 1$时）证明单调性。

步骤1：等价变形
原不等式$\frac{\ln(1+x)}{\ln x} > \frac{x}{1+x}$，当$x > 1$时，$\ln x > 0$，两边同乘$\ln x$得：
$\ln(1+x) > \frac{x}{1+x} \ln x.$
进一步两边同乘$(1+x)$（正数），得：
$(1+x)\ln(1+x) > x \ln x.$

步骤2：构造函数
定义函数$F(x) = x \ln x$，则原不等式等价于证明：
$F(x+1) > F(x).$

步骤3：分析函数单调性
求导得：
$F'(x) = \ln x + 1.$
当$x > 1$时，$\ln x > 0$，故$F'(x) = \ln x + 1 > 1 > 0$，说明$F(x)$在$x > 1$时严格单调递增。

步骤4：比较函数值
由于$x+1 > x$且$F(x)$单调递增，故：
$F(x+1) > F(x),$
即：
$(1+x)\ln(1+x) > x \ln x.$
从而原不等式得证。