12.曲线弧x=x(t),y=y(t)由方程组{}x=te^t,e^y+e^t=2e.确定，则曲线在t=1处的曲率为_____.
题目解答
答案
将参数方程 $x = te^t$ 和 $e^y + e^t = 2e$ 在 $t = 1$ 处求导。
- 当 $t = 1$ 时，$x = e$，$y = 1$。
- 一阶导数：
$\frac{dx}{dt} = (1 + t)e^t \bigg|_{t=1} = 2e, \quad \frac{dy}{dt} = -\frac{e^t}{e^y} \bigg|_{t=1} = -1$ - 二阶导数：
$\frac{d^2x}{dt^2} = (2 + t)e^t \bigg|_{t=1} = 3e, \quad \frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{e^t(1 - \frac{dy}{dt})}{e^y} \bigg|_{t=1} = -2$ - 曲率公式：
$K = \frac{\left| \frac{dx}{dt} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} \right|}{\left( \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 \right)^{3/2}} = \frac{e}{(4e^2 + 1)^{3/2}}$
答案： $\boxed{\frac{e}{(4e^2 + 1)^{3/2}}}$
解析
考查要点：本题主要考查参数方程确定的曲线在某一点处的曲率计算，涉及参数方程求导、曲率公式的应用。
解题核心思路：
- 确定参数方程在指定点的坐标：将$t=1$代入参数方程，求出$x$和$y$的值。
- 求一阶导数和二阶导数：对参数方程分别求$\frac{dx}{dt}$、$\frac{dy}{dt}$、$\frac{d^2x}{dt^2}$、$\frac{d^2y}{dt^2}$，并代入$t=1$。
- 代入曲率公式：利用参数方程的曲率公式，将上述导数代入计算。
破题关键点：
- 正确求导：注意参数方程的链式法则和隐函数求导（如对$e^y + e^t = 2e$求导）。
- 曲率公式的准确应用：分子为$\frac{dx}{dt} \cdot \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \cdot \frac{d^2x}{dt^2}$，分母为$\left( \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 \right)^{3/2}$。
步骤1：求$t=1$时的坐标
将$t=1$代入$x = te^t$，得：
$x = 1 \cdot e^1 = e.$
将$t=1$代入$e^y + e^t = 2e$，得：
$e^y + e = 2e \implies e^y = e \implies y = 1.$
步骤2：求一阶导数
对$x = te^t$求导：
$\frac{dx}{dt} = e^t + te^t = (1 + t)e^t.$
在$t=1$处：
$\frac{dx}{dt} = (1 + 1)e^1 = 2e.$
对$e^y + e^t = 2e$隐函数求导：
$e^y \frac{dy}{dt} + e^t = 0 \implies \frac{dy}{dt} = -\frac{e^t}{e^y}.$
在$t=1$处（此时$y=1$）：
$\frac{dy}{dt} = -\frac{e^1}{e^1} = -1.$
步骤3：求二阶导数
对$\frac{dx}{dt} = (1 + t)e^t$求导：
$\frac{d^2x}{dt^2} = e^t + (1 + t)e^t = (2 + t)e^t.$
在$t=1$处：
$\frac{d^2x}{dt^2} = (2 + 1)e^1 = 3e.$
对$\frac{dy}{dt} = -\frac{e^t}{e^y}$求导：
$\frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{e^t e^y \frac{dy}{dt} + e^t e^y}{(e^y)^2} = -\frac{e^t (1 - \frac{dy}{dt})}{e^y}.$
在$t=1$处（此时$\frac{dy}{dt} = -1$，$e^y = e$）：
$\frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{e^1 (1 - (-1))}{e^1} = -2.$
步骤4：代入曲率公式
曲率公式为：
$K = \frac{\left| \frac{dx}{dt} \cdot \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \cdot \frac{d^2x}{dt^2} \right|}{\left( \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 \right)^{3/2}}.$
代入数值：
$K = \frac{|2e \cdot (-2) - (-1) \cdot 3e|}{( (2e)^2 + (-1)^2 )^{3/2}} = \frac{e}{(4e^2 + 1)^{3/2}}.$