题目
-20 质量为45.0 kg 的物体,由地面以初速60.0 m?s-1 竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr =kv,且k =0.03 N/( m?s-1 ).(1) 求物体发射到最大高度所需的时间.(2) 最大高度为多少?
-20 质量为45.0 kg 的物体,由地面以初速60.0 m?s-1 竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr =kv,且k =0.03 N/( m?s-1 ).(1) 求物体发射到最大高度所需的时间.(2) 最大高度为多少?
题目解答
答案
分析 物体在发射过程中,同时受到重力和空气阻力的作用,其合力是速率v 的一次函数,动力学方程是速率的一阶微分方程,求解时,只需采用分离变量的数学方法即可.但是,在求解高度时,则必须将时间变量通过速度定义式转换为位置变量后求解,并注意到物体上升至最大高度时,速率应为零.解 (1) 物体在空中受重力mg和空气阻力Fr =kv 作用而减速.由牛顿定律得(1)根据始末条件对上式积分,有(2) 利用 的关系代入式(1),可得分离变量后积分故讨论 如不考虑空气阻力,则物体向上作匀减速运动.由公式 和 分别算得t≈6.12s和y≈184 m,均比实际值略大一些.
解析
步骤 1：确定物体上升过程中的受力情况
物体在上升过程中受到重力和空气阻力的作用。重力为 \(mg\)，方向向下；空气阻力为 \(kv\)，方向与运动方向相反，即向上运动时，空气阻力方向向下。因此，物体受到的合力为 \(F = -mg - kv\)。
步骤 2：建立动力学方程
根据牛顿第二定律，物体的加速度 \(a\) 与合力 \(F\) 的关系为 \(F = ma\)。因此，有 \(ma = -mg - kv\)，即 \(a = -g - \frac{k}{m}v\)。由于 \(a = \frac{dv}{dt}\)，可以得到微分方程 \(\frac{dv}{dt} = -g - \frac{k}{m}v\)。
步骤 3：求解微分方程
分离变量后，有 \(\frac{dv}{-g - \frac{k}{m}v} = dt\)。积分两边，得到 \(\int \frac{dv}{-g - \frac{k}{m}v} = \int dt\)。令 \(-g - \frac{k}{m}v = u\)，则 \(dv = -\frac{m}{k}du\)，代入积分式，得到 \(-\frac{m}{k} \int \frac{du}{u} = \int dt\)，即 \(-\frac{m}{k} \ln|u| = t + C\)。代回 \(u\) 的表达式，得到 \(-\frac{m}{k} \ln|-g - \frac{k}{m}v| = t + C\)。利用初始条件 \(v(0) = 60.0 m/s\)，求得 \(C\) 的值，从而得到 \(v\) 关于 \(t\) 的表达式。
步骤 4：求解最大高度所需时间
物体上升至最大高度时，速度 \(v\) 为零。将 \(v = 0\) 代入 \(v\) 关于 \(t\) 的表达式，求得 \(t\) 的值。
步骤 5：求解最大高度
利用速度 \(v\) 关于时间 \(t\) 的表达式，通过积分求得高度 \(y\) 关于时间 \(t\) 的表达式。将 \(t\) 的值代入，求得最大高度 \(y\) 的值。
物体在上升过程中受到重力和空气阻力的作用。重力为 \(mg\)，方向向下；空气阻力为 \(kv\)，方向与运动方向相反，即向上运动时，空气阻力方向向下。因此，物体受到的合力为 \(F = -mg - kv\)。
步骤 2：建立动力学方程
根据牛顿第二定律，物体的加速度 \(a\) 与合力 \(F\) 的关系为 \(F = ma\)。因此，有 \(ma = -mg - kv\)，即 \(a = -g - \frac{k}{m}v\)。由于 \(a = \frac{dv}{dt}\)，可以得到微分方程 \(\frac{dv}{dt} = -g - \frac{k}{m}v\)。
步骤 3：求解微分方程
分离变量后，有 \(\frac{dv}{-g - \frac{k}{m}v} = dt\)。积分两边，得到 \(\int \frac{dv}{-g - \frac{k}{m}v} = \int dt\)。令 \(-g - \frac{k}{m}v = u\)，则 \(dv = -\frac{m}{k}du\)，代入积分式，得到 \(-\frac{m}{k} \int \frac{du}{u} = \int dt\)，即 \(-\frac{m}{k} \ln|u| = t + C\)。代回 \(u\) 的表达式，得到 \(-\frac{m}{k} \ln|-g - \frac{k}{m}v| = t + C\)。利用初始条件 \(v(0) = 60.0 m/s\)，求得 \(C\) 的值，从而得到 \(v\) 关于 \(t\) 的表达式。
步骤 4：求解最大高度所需时间
物体上升至最大高度时，速度 \(v\) 为零。将 \(v = 0\) 代入 \(v\) 关于 \(t\) 的表达式，求得 \(t\) 的值。
步骤 5：求解最大高度
利用速度 \(v\) 关于时间 \(t\) 的表达式，通过积分求得高度 \(y\) 关于时间 \(t\) 的表达式。将 \(t\) 的值代入，求得最大高度 \(y\) 的值。