设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=} cxy^2, & 0 < x < 1, 0 < y < 1 0, & (其他) ; (3) 求X及Y的边缘概率密度; (4) 判断X与Y的独立性。
设二维连续型随机变量$(X,Y)$的概率密度为 $f(x,y)=\begin{cases} cxy^2, & 0 < x < 1, 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，(1)
求常数$c$; (2) $G=\{(x,y) \mid 0.5 < x < 0.5, 0.5 < y < 1.5\}$，求 $P\{(X,Y) \in G\}$; (3) 求$X$及$Y$的边缘概率密度; (4) 判断$X$与$Y$的独立性。
题目解答
答案
(1) 由概率密度函数的性质，$\int_0^1\int_0^1 cxy^2 \, dx \, dy = 1$，计算得 $c = 6$。
(2) $P((X, Y) \in G) = \int_0^{0.5}\int_{0.5}^1 6xy^2 \, dy \, dx = \frac{7}{32}$。
(3) 边缘密度：
$f_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，
$f_Y(y) = \begin{cases} 3y^2, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。
(4) 由于 $f(x, y) = f_X(x)f_Y(y)$，$X$ 与 $Y$ 独立。
答案：
(1) $c = 6$
(2) $\frac{7}{32}$
(3) $f_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，$f_Y(y) = \begin{cases} 3y^2, & 0 < y < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
(4) 独立