9.用数学归纳法证明:-|||-cosθ 1 0 0 o-|||-1 2cosθ 1 0 0-|||-_(n)= 1 2cosθ 0 0-|||-=cos ntheta -|||-0 0 0 2cosθ 1-|||-0 0 0 1 2cosθ

考查要点：本题主要考查数学归纳法在行列式证明中的应用，以及三角恒等式的灵活运用。
解题核心思路：

1. 验证基础情形：计算 $D_1$ 和 $D_2$，验证其等于 $\cos\theta$ 和 $\cos2\theta$。
2. 归纳假设：假设当 $n=k-1$ 时结论成立，即 $D_{k-1} = \cos(k-1)\theta$。
3. 递推关系：通过行列式展开得到 $D_k = 2D_{k-1}\cos\theta - D_{k-2}$，并结合归纳假设和三角恒等式化简。
   破题关键：

• 行列式递推：利用三对角行列式的展开规律建立递推公式。
• 三角恒等式：将递推关系转化为余弦加法公式，最终得到 $D_k = \cos k\theta$。

基础情形验证

当 $n=1$ 时：
$D_1 = \begin{vmatrix} \cos\theta \end{vmatrix} = \cos\theta = \cos1\cdot\theta$
当 $n=2$ 时：
$D_2 = \begin{vmatrix} \cos\theta & 1 \\ 1 & 2\cos\theta \end{vmatrix} = \cos\theta \cdot 2\cos\theta - 1 \cdot 1 = 2\cos^2\theta - 1 = \cos2\theta$
基础情形成立。

归纳假设

假设当 $n=k-1$ 时结论成立，即：
$D_{k-1} = \cos(k-1)\theta$

归纳递推

对 $D_k$ 进行展开（按第一行展开）：
$D_k = \cos\theta \cdot D_{k-1} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & D_{k-2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2\cos\theta \end{vmatrix}$
进一步化简得：
$D_k = \cos\theta \cdot D_{k-1} - 1 \cdot D_{k-2}$
结合次对角线展开（或直接递推公式）可得：
$D_k = 2D_{k-1}\cos\theta - D_{k-2}$

三角恒等变换

将归纳假设 $D_{k-1} = \cos(k-1)\theta$ 代入递推式：
$\begin{aligned}D_k &= 2\cos\theta \cdot \cos(k-1)\theta - \cos(k-2)\theta \\&= 2\cos(k-1)\theta \cos\theta - \cos(k-2)\theta \\&= \cos[(k-1)\theta + \theta] \quad \text{（利用余弦加法公式）} \\&= \cos k\theta\end{aligned}$
因此，当 $n=k$ 时结论成立。