题目

设A，B及A^-1+B^-1均是n阶可逆矩阵，则(A^-1+B^-1)^-1等于（）A. A^-1+B^-1B. A+BC. A(A+B)^-1BD. (A+B)^-1

设$A$，$B$及$A^{-1}+B^{-1}$均是$n$阶可逆矩阵，则$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}$等于（）

A. $A^{-1}+B^{-1}$

B. $A+B$

C. $A(A+B)^{-1}B$

D. $(A+B)^{-1}$

题目解答

答案

C. $A(A+B)^{-1}B$

解析

本题考查可逆矩阵的性质以及矩阵运算，解题思路是通过对$(A^{-1}+B^{-1})$进行变形，然后利用可逆矩阵的性质求出其逆矩阵。

  1. 首先对$A^{-1}+B^{-1}$进行变形：
    • 根据矩阵乘法分配律$A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(E + AB^{-1})$，这里$E$为$n$阶单位矩阵。
    • 进一步变形为$A^{-1}(BB^{-1}+AB^{-1})=A^{-1}(A + B)B^{-1}$。
  2. 然后根据可逆矩阵的性质：若$M$，$N$，$P$均为可逆矩阵，且$Q = MNP$，则$Q^{-1}=P^{-1}N^{-1}M^{-1}$。
    • 对于$(A^{-1}+B^{-1})=A^{-1}(A + B)B^{-1}$，因为$A$，$B$及$A^{-1}+B^{-1}$均是$n$阶可逆矩阵，所以$A + B$也可逆。
    • 那么$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=[A^{-1}(A + B)B^{-1}]^{-1}$。
    • 根据上述可逆矩阵乘积的逆矩阵性质可得$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=(B^{-1})^{-1}(A + B)^{-1}(A^{-1})^{-1}$。
  3. 最后根据可逆矩阵的性质$(M^{-)^{-1}=M$（这里应该是$(M^{-1})^{-1}=M$）：
    • 因为$(B^{-1})^{-1}=B$，$(A^{-1})^{-1}=A$，所以$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=B(A + B)^{-1}A=A(A + B)^{-1}B$。