题目
2.设 (A)=dfrac (1)(4) . (B|A)=dfrac (1)(3) . (A|B)=dfrac (1)(2), 求 (Acup B).
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $P(B)$
根据条件概率公式 $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$，可以得到 $P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A)$。将已知值代入，得到 $P(A \cap B) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$。再根据条件概率公式 $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$，可以得到 $P(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A|B)} = \dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{6}$。
步骤 2：计算 $P(A \cup B)$
根据概率的加法公式 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$，将已知值代入，得到 $P(A \cup B) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$。
根据条件概率公式 $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$，可以得到 $P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A)$。将已知值代入，得到 $P(A \cap B) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$。再根据条件概率公式 $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$，可以得到 $P(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A|B)} = \dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{6}$。
步骤 2：计算 $P(A \cup B)$
根据概率的加法公式 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$，将已知值代入，得到 $P(A \cup B) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$。