齐次线性方程组 } x_1 + kx_2 + x_3 = 0, kx_1 + x_2 - x_3 = 0, 2x_1 + x_2 + x_3 = 0 只有零解，求 k 的值.

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组解的唯一性条件，即系数矩阵的行列式是否非零。当行列式不为零时，方程组仅有零解。

解题核心思路：

1. 构造系数矩阵：将方程组的系数提取出来，形成3×3的矩阵。
2. 计算行列式：通过展开式计算行列式的值，化简后得到关于$k$的表达式。
3. 解不等式：令行列式不等于零，求出$k$的取值范围。

破题关键点：

• 行列式的非零性是判断唯一解的核心条件。
• 正确展开行列式并化简是计算的关键步骤，需注意符号和代数运算的准确性。

步骤1：构造系数矩阵
方程组的系数矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}1 & k & 1 \\k & 1 & -1 \\2 & 1 & 1\end{pmatrix}$

步骤2：计算行列式$\det(A)$
按第一行展开行列式：
$\begin{aligned}\det(A) &= 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} - k \cdot \begin{vmatrix}k & -1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}k & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - k \cdot (k \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + 1 \cdot (k \cdot 1 - 1 \cdot 2) \\ &= 1 \cdot 2 - k \cdot (k + 2) + 1 \cdot (k - 2) \\ &= 2 - k^2 - 2k + k - 2 \\ &= -k^2 - k \\ &= -k(k + 1) \end{aligned}$

步骤3：行列式非零条件
方程组仅有零解的条件是$\det(A) \neq 0$，即：
$-k(k + 1) \neq 0 \implies k \neq 0 \ \text{且} \ k \neq -1$