题目
微分方程(x+1)y'-2y=((x+1))^2 的通解 A (x+1)y'-2y=((x+1))^2B (x+1)y'-2y=((x+1))^2C (x+1)y'-2y=((x+1))^2D (x+1)y'-2y=((x+1))^2
微分方程
的通解
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
将变形，
得到
。
由一阶非齐次线性微分方程的标准形式
可知
，
。
故
故答案选A
解析
步骤 1：变形方程
将微分方程$(x+1)y'-2y={(x+1)}^{2}$变形，得到$y'-\dfrac {2}{x+1}y=x+1$。
步骤 2：识别标准形式
由一阶非齐次线性微分方程的标准形式$y'+P(x)y=Q(x)$可知，$P(x)=-\dfrac {2}{x+1}$，$Q(x)=x+1$。
步骤 3：求解通解
根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式$y={e}^{-\int P(x)dx}(\int Q(x){e}^{\int P(x)dx}dx+C)$，代入$P(x)$和$Q(x)$，得到$y={e}^{2\ln (x+1)}(\int (x+1){e}^{-2\ln (x+1)}dx+C)$。
步骤 4：简化表达式
进一步简化得到$y={(x+1)}^{2}(\int (x+1)\dfrac {1}{{(x+1)}^{2}}dx+C)$，即$y={(x+1)}^{2}(\int \dfrac {1}{(x+1)}dx+C)$。
步骤 5：计算积分
计算积分得到$y={(x+1)}^{2}[ \ln (x+1)+C] $。
将微分方程$(x+1)y'-2y={(x+1)}^{2}$变形，得到$y'-\dfrac {2}{x+1}y=x+1$。
步骤 2：识别标准形式
由一阶非齐次线性微分方程的标准形式$y'+P(x)y=Q(x)$可知，$P(x)=-\dfrac {2}{x+1}$，$Q(x)=x+1$。
步骤 3：求解通解
根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式$y={e}^{-\int P(x)dx}(\int Q(x){e}^{\int P(x)dx}dx+C)$，代入$P(x)$和$Q(x)$，得到$y={e}^{2\ln (x+1)}(\int (x+1){e}^{-2\ln (x+1)}dx+C)$。
步骤 4：简化表达式
进一步简化得到$y={(x+1)}^{2}(\int (x+1)\dfrac {1}{{(x+1)}^{2}}dx+C)$，即$y={(x+1)}^{2}(\int \dfrac {1}{(x+1)}dx+C)$。
步骤 5：计算积分
计算积分得到$y={(x+1)}^{2}[ \ln (x+1)+C] $。