题目
若服从直线x+y=1与坐标轴围成的三角形内的均匀分布，则x+y=1的联合概率密度函数x+y=1.(给出联合密度函数中的第一个解析式)
若服从直线
与坐标轴围成的三角形内的均匀分布，则
的联合概率密度函数
.
(给出联合密度函数中的第一个解析式)
题目解答
答案
直线与坐标轴围成三角形区域D的面积为
，二维随机变量服从区域D上的均匀分布，则的联合概率密度函数为
.
解析
步骤 1：确定三角形区域
直线x+y=1与坐标轴围成的三角形区域D的顶点为(0,0)，(1,0)，(0,1)。因此，区域D的面积为${S}_{D}=\dfrac {1}{2}\times 1\times 1=\dfrac {1}{2}$。
步骤 2：计算联合概率密度函数
由于(X,Y)服从区域D上的均匀分布，联合概率密度函数f(x,y)在区域D内为常数，且在整个区域D上的积分等于1。因此，联合概率密度函数为$f(x,y)=\dfrac {1}{{S}_{D}}=\dfrac {1}{\dfrac {1}{2}}=2$，当0≤x≤1，0≤y≤1-x时。
步骤 3：确定联合概率密度函数的定义域
联合概率密度函数f(x,y)在区域D外为0，即当x<0，x>1，y<0，y>1-x时，f(x,y)=0。
直线x+y=1与坐标轴围成的三角形区域D的顶点为(0,0)，(1,0)，(0,1)。因此，区域D的面积为${S}_{D}=\dfrac {1}{2}\times 1\times 1=\dfrac {1}{2}$。
步骤 2：计算联合概率密度函数
由于(X,Y)服从区域D上的均匀分布，联合概率密度函数f(x,y)在区域D内为常数，且在整个区域D上的积分等于1。因此，联合概率密度函数为$f(x,y)=\dfrac {1}{{S}_{D}}=\dfrac {1}{\dfrac {1}{2}}=2$，当0≤x≤1，0≤y≤1-x时。
步骤 3：确定联合概率密度函数的定义域
联合概率密度函数f(x,y)在区域D外为0，即当x<0，x>1，y<0，y>1-x时，f(x,y)=0。