题目
设随机变量X的分布律为p dfrac (-1)({(a-1))^2(1-a)(1+a) 1-a}求：（1）a的值；（2）X的分布函数F(x).
设随机变量X的分布律为
求：（1）a的值；（2）X的分布函数F(x).
题目解答
答案
（1）
-3a+2=0
a=
（2）
当x<-1时，F(x)=0，
当-1≤x<0时，
，
当0≤x<1时，
，
当x≥1时，F(x)=1，
即X的分布函数
解析
步骤 1：求解a的值
根据随机变量X的分布律，所有概率之和应等于1。因此，我们有：
${(a-1)}^{2}+(1-a)(1+a)+(1-a)=1$
将上式展开并简化，得到：
${a}^{2}-2a+1+1-{a}^{2}+1-a=1$
进一步简化，得到：
$-3a+2=0$
解得：
$a=\dfrac {2}{3}$
步骤 2：求解X的分布函数F(x)
根据a的值，我们可以计算出X取不同值的概率：
$P\{ X=-1\} =\dfrac {1}{9}$
$P\{ X=0\} =\dfrac {5}{9}$
$P\{ X=1\} =\dfrac {1}{3}$
根据这些概率，我们可以写出X的分布函数F(x)：
当x<-1时，F(x)=0，
当-1≤x<0时，F(x)=$\dfrac {1}{9}$，
当0≤x<1时，F(x)=$\dfrac {1}{9}+\dfrac {5}{9}=\dfrac {2}{3}$，
当x≥1时，F(x)=1，
即X的分布函数$f(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 0,x\lt -1\\ \dfrac {1}{9},-1\leqslant x\lt 0\\ \dfrac {2}{3},0\leqslant x\lt 1\\ 1,x\geqslant 1\end{matrix} \right.$
根据随机变量X的分布律，所有概率之和应等于1。因此，我们有：
${(a-1)}^{2}+(1-a)(1+a)+(1-a)=1$
将上式展开并简化，得到：
${a}^{2}-2a+1+1-{a}^{2}+1-a=1$
进一步简化，得到：
$-3a+2=0$
解得：
$a=\dfrac {2}{3}$
步骤 2：求解X的分布函数F(x)
根据a的值，我们可以计算出X取不同值的概率：
$P\{ X=-1\} =\dfrac {1}{9}$
$P\{ X=0\} =\dfrac {5}{9}$
$P\{ X=1\} =\dfrac {1}{3}$
根据这些概率，我们可以写出X的分布函数F(x)：
当x<-1时，F(x)=0，
当-1≤x<0时，F(x)=$\dfrac {1}{9}$，
当0≤x<1时，F(x)=$\dfrac {1}{9}+\dfrac {5}{9}=\dfrac {2}{3}$，
当x≥1时，F(x)=1，
即X的分布函数$f(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 0,x\lt -1\\ \dfrac {1}{9},-1\leqslant x\lt 0\\ \dfrac {2}{3},0\leqslant x\lt 1\\ 1,x\geqslant 1\end{matrix} \right.$