求函数的极值: (1) y=2x3-6x2-18x+7; (2) y=x-ln(1+x) ; (3) y=-x4+2x2 ; (4)=x+sqrt (1-x); (5)=x+sqrt (1-x); (6)=x+sqrt (1-x); (7) y=ex cos x ; (8)=x+sqrt (1-x); (9)=x+sqrt (1-x); (10) y=x+tan x .

 (1)函数的定义为(-∞, +∞),  y′=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1), 驻点为x1=-1, x2=3.

    列表

    可见函数在x=-1处取得极大值17, 在x=3处取得极小值-47.

    (2)函数的定义为(-1, +∞), , 驻点为x=0. 因为当-1<x<0时, y′<0; 当x>0时, y′>0, 所以函数在x=0处取得极小值, 极小值为y(0)=0.

    (3)函数的定义为(-∞, +∞),

        y′=-4x3+4x=-4x(x2-1), y′′=-12x2+4,

    令y′=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1. 

    因为y′′(0)=4>0, y′′(-1)=-8<0, y′′(1)=-8<0, 所以y(0)=0是函数的极小值, y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.

    (4)函数的定义域为(-∞, 1],

        ,

    令y′=0, 得驻点.

    因为当时, y′>0; 当时, y′<0, 所以为函数的极大值.

    (5)函数的定义为(-∞, +∞), , 驻点为.

    因为当时, y′>0; 当时, y′<0, 所以函数在处取得极大值, 极大值为.

    (6)函数的定义为(-∞, +∞), , 驻点为x1=0, x2=-2.

    列表

    可见函数在x=-2处取得极小值, 在x=0处取得极大值4.

    (7)函数的定义域为(-∞, +∞).

    y′=e x(cos x-sin x ),  y′′=-e xsin x.

    令y′=0, 得驻点, , (k=0, ±1, ±2, ∙ ∙ ∙).

    因为, 所以是函数的极大值.

    因为y′′, 所以是函数的极小值.

    (8)函数的定义域为(0, +∞),

           .

    令y′=0, 得驻点x=e .

    因为当x<e时, y′>0; 当x>e时, y′<0, 所以为函数f(x)的极大值.

    (9)函数的定义域为(-∞, +∞), , 因为y′<0, 所以函数在(-∞, +∞)是单调

减少的, 无极值.

    (10)函数y=x+tg x 的定义域为(k=0, ±1, ±2, ∙ ∙ ∙).

因为y′=1+sec 2x >0, 所以函数f(x)无极值.