题目

已知四阶行列式之值为 1，它的第二行元素依次为 1, 0, t, 2，且第二行元素的余子式分别为 1, 3, -4, 2，则 t = ____

已知四阶行列式之值为 1，它的第二行元素依次为 $1, 0, t, 2$，且第二行元素的余子式分别为 $1, 3, -4, 2$，则 $t = \_\_\_\_$

题目解答

答案

已知四阶行列式 $D = 1$，第二行元素为 $1, 0, t, 2$，余子式分别为 $1, 3, -4, 2$。 代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，得： \[ A_{21} = -1, \quad A_{22} = 3, \quad A_{23} = 4, \quad A_{24} = 2 \] 按第二行展开行列式： \[ D = 1 \cdot A_{21} + 0 \cdot A_{22} + t \cdot A_{23} + 2 \cdot A_{24} = 1 \cdot (-1) + t \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 3 + 4t \] 由 $D = 1$，解得： \[ 3 + 4t = 1 \implies t = -\frac{1}{2} \] **答案：** $\boxed{-\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查行列式按行展开的性质，涉及代数余子式的计算及行列式的展开式求解未知数。

解题核心思路：

  1. 代数余子式与余子式的关系：代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，需根据余子式计算对应的代数余子式。
  2. 行列式展开公式：按第二行展开行列式，建立方程求解未知数 $t$。
  3. 方程求解：将展开后的表达式与已知行列式值联立，解出 $t$。

破题关键点：

  • 正确转换余子式为代数余子式，注意符号的确定。
  • 准确代入展开式并化简，避免计算错误。

步骤1：计算代数余子式

已知第二行的余子式为 $M_{21}=1, M_{22}=3, M_{23}=-4, M_{24}=2$，根据代数余子式的定义：
$\begin{aligned}A_{21} &= (-1)^{2+1} M_{21} = (-1)^3 \cdot 1 = -1, \\A_{22} &= (-1)^{2+2} M_{22} = (-1)^4 \cdot 3 = 3, \\A_{23} &= (-1)^{2+3} M_{23} = (-1)^5 \cdot (-4) = 4, \\A_{24} &= (-1)^{2+4} M_{24} = (-1)^6 \cdot 2 = 2.\end{aligned}$

步骤2：按第二行展开行列式

行列式按第二行展开：
$D = 1 \cdot A_{21} + 0 \cdot A_{22} + t \cdot A_{23} + 2 \cdot A_{24}.$
代入代数余子式的值：
$D = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 + t \cdot 4 + 2 \cdot 2 = -1 + 0 + 4t + 4 = 3 + 4t.$

步骤3：解方程求$t$

已知行列式值 $D = 1$，联立方程：
$3 + 4t = 1 \implies 4t = -2 \implies t = -\frac{1}{2}.$