设函数f(x）=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx^2 ,则（）。A. a=1,b=-1/2B. a=1,b=1/2C. a=0,b=-1/2D. a=0,b=1/2

考查要点：本题主要考查泰勒多项式展开的应用，特别是对secx函数在x=0处的二次泰勒多项式的展开计算。需要掌握导数的计算及泰勒展开式的构造方法。

解题核心思路：

1. 泰勒多项式的一般形式为：$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2$。
2. 关键步骤是计算$f(0)$、$f'(0)$、$f''(0)$，并代入公式得到系数$a$和$b$。
3. 注意：secx的导数涉及三角函数的导数公式，需正确应用乘积法则。

破题关键点：

• 一阶导数$f'(x) = \sec x \tan x$，在$x=0$处值为0，因此$a=0$。
• 二阶导数$f''(x) = \sec^3 x + \sec x \tan^2 x$，在$x=0$处值为1，因此$b = \frac{1}{2}$。

计算泰勒多项式系数

1. 计算$f(0)$
   $\sec 0 = \frac{1}{\cos 0} = 1$，因此泰勒多项式的常数项为$1$，与题目形式一致。

2. 计算一阶导数$f'(x)$
   $\frac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x$，因此：
   $f'(0) = \sec 0 \cdot \tan 0 = 1 \cdot 0 = 0$
   对应系数$a = f'(0) = 0$。

3. 计算二阶导数$f''(x)$
   使用乘积法则对$f'(x) = \sec x \tan x$求导：
   $\begin{aligned} f''(x) &= \frac{d}{dx} (\sec x \tan x) \\ &= \sec x \cdot \frac{d}{dx} (\tan x) + \tan x \cdot \frac{d}{dx} (\sec x) \\ &= \sec x \cdot \sec^2 x + \tan x \cdot \sec x \tan x \\ &= \sec^3 x + \sec x \tan^2 x \end{aligned}$
   代入$x=0$：
   $f''(0) = \sec^3 0 + \sec 0 \cdot \tan^2 0 = 1 + 0 = 1$
   对应系数$b = \frac{f''(0)}{2!} = \frac{1}{2}$。