题目
2005年北京市竞赛题四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,三角形AOB=4,三角形COD=9,求四边形ABCD的面积的最小值.
2005年北京市竞赛题
四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,三角形AOB=4,三角形COD=9,求四边形ABCD的面积的最小值.
题目解答
答案
设S(△COB)=x,S(△AOD)=y
S(△AOD):S(△COD)=AO:CO
S(△AOB):S(△COB)=AO:CO
y:9=4:x
xy=36
所以当x=y=6,ABCD是等腰梯形,AB‖CD时,S(△COB)=S(△AOD),x+y取最小值12
四边形ABCD面积的最小值为4+9+12=25
解析
步骤 1：设三角形COB的面积为x，三角形AOD的面积为y
根据题目条件，我们设三角形COB的面积为x，三角形AOD的面积为y。这样，四边形ABCD的面积可以表示为：S(ABCD) = S(△AOB) + S(△COB) + S(△COD) + S(△AOD) = 4 + x + 9 + y = 13 + x + y。
步骤 2：利用相似三角形的性质
由于三角形AOB和三角形COD的面积已知，且它们的高相等（即对角线AC和BD的交点O到AB和CD的距离相等），我们可以利用相似三角形的性质来建立x和y的关系。根据相似三角形的面积比等于对应边的平方比，我们有：S(△AOD):S(△COD) = AO:CO，S(△AOB):S(△COB) = AO:CO。因此，y:9 = 4:x，从而得到xy = 36。
步骤 3：求x+y的最小值
根据步骤2中的xy = 36，我们可以利用基本不等式求x+y的最小值。根据基本不等式，对于任意正数x和y，有x+y ≥ 2√(xy)，当且仅当x=y时取等号。因此，x+y ≥ 2√(36) = 12，当x=y=6时取等号。所以，当x=y=6时，x+y取最小值12。
步骤 4：计算四边形ABCD的面积的最小值
根据步骤1和步骤3，当x=y=6时，四边形ABCD的面积的最小值为：S(ABCD) = 13 + x + y = 13 + 12 = 25。
根据题目条件，我们设三角形COB的面积为x，三角形AOD的面积为y。这样，四边形ABCD的面积可以表示为：S(ABCD) = S(△AOB) + S(△COB) + S(△COD) + S(△AOD) = 4 + x + 9 + y = 13 + x + y。
步骤 2：利用相似三角形的性质
由于三角形AOB和三角形COD的面积已知，且它们的高相等（即对角线AC和BD的交点O到AB和CD的距离相等），我们可以利用相似三角形的性质来建立x和y的关系。根据相似三角形的面积比等于对应边的平方比，我们有：S(△AOD):S(△COD) = AO:CO，S(△AOB):S(△COB) = AO:CO。因此，y:9 = 4:x，从而得到xy = 36。
步骤 3：求x+y的最小值
根据步骤2中的xy = 36，我们可以利用基本不等式求x+y的最小值。根据基本不等式，对于任意正数x和y，有x+y ≥ 2√(xy)，当且仅当x=y时取等号。因此，x+y ≥ 2√(36) = 12，当x=y=6时取等号。所以，当x=y=6时，x+y取最小值12。
步骤 4：计算四边形ABCD的面积的最小值
根据步骤1和步骤3，当x=y=6时，四边形ABCD的面积的最小值为：S(ABCD) = 13 + x + y = 13 + 12 = 25。