题目
8-20 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环,其尺寸如图(a )所示,共有-|||-N匝,求该螺绕环的自感L.-|||-O R2-|||-O R2-|||-R1 R1-|||-h-|||-h-|||-O x-|||-dx-|||-O-|||-(a) (b)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁场分布
在环形螺绕环中，电流I通过线圈，根据安培环路定理，可以求得在 ${R}_{1}\lt r\lt {R}_{2}$ 范围内的磁场分布为 $B=\dfrac {{\mu }_{0}NI}{2\pi x}$，其中 ${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，N是线圈匝数，I是电流，x是环形螺绕环的半径。
步骤 2：计算磁通量
由于线圈由N匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为 $\varphi =N\int B\cdot dS$。将磁场分布代入，得到 $\varphi =N\int_{R_1}^{R_2} \dfrac{{\mu }_{0}NI}{2\pi x} \cdot h \cdot dx$，其中h是环形螺绕环的宽度。积分后得到 $\varphi =\dfrac{{\mu }_{0}{N}^{2}Ih}{2\pi }\ln \dfrac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$。
步骤 3：计算自感
自感L定义为磁链与电流的比值，即 $L=\dfrac {\varphi }{I}$。将磁链代入，得到 $L=\dfrac{{\mu }_{0}{N}^{2}h}{2\pi }\ln \dfrac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$。
在环形螺绕环中，电流I通过线圈，根据安培环路定理，可以求得在 ${R}_{1}\lt r\lt {R}_{2}$ 范围内的磁场分布为 $B=\dfrac {{\mu }_{0}NI}{2\pi x}$，其中 ${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，N是线圈匝数，I是电流，x是环形螺绕环的半径。
步骤 2：计算磁通量
由于线圈由N匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为 $\varphi =N\int B\cdot dS$。将磁场分布代入，得到 $\varphi =N\int_{R_1}^{R_2} \dfrac{{\mu }_{0}NI}{2\pi x} \cdot h \cdot dx$，其中h是环形螺绕环的宽度。积分后得到 $\varphi =\dfrac{{\mu }_{0}{N}^{2}Ih}{2\pi }\ln \dfrac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$。
步骤 3：计算自感
自感L定义为磁链与电流的比值，即 $L=\dfrac {\varphi }{I}$。将磁链代入，得到 $L=\dfrac{{\mu }_{0}{N}^{2}h}{2\pi }\ln \dfrac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$。