46.(2020·河南)已知f(1+x)=arctanx，f[g(x)]=x-2，则g(x+2)=_

考查要点：本题主要考查函数的复合与反函数的应用，需要学生掌握函数的定义、变量替换以及反三角函数与三角函数的互化关系。

解题核心思路：

1. 确定函数$f(x)$的表达式：通过变量替换，将已知条件$f(1+x)=\arctan x$转化为关于$t$的表达式，从而得到$f(x)$的一般形式。
2. 解方程求$g(x)$：利用$f[g(x)]=x-2$，将$f(x)$的表达式代入，通过取正切操作解出$g(x)$。
3. 代数替换求$g(x+2)$：将$x$替换为$x+2$，得到最终结果。

破题关键点：

• 变量替换：设$t=1+x$，将$f(1+x)$转化为$f(t)$，从而明确$f(x)$的表达式。
• 反函数应用：利用$\arctan$和$\tan$互为反函数的关系，将方程转化为代数表达式。
• 代数替换：注意替换变量时的符号和运算顺序。

步骤1：确定$f(x)$的表达式

设$t = 1 + x$，则$x = t - 1$。代入已知条件$f(1+x) = \arctan x$，得：
$f(t) = \arctan(t - 1)$
因此，函数$f(x)$的表达式为：
$f(x) = \arctan(x - 1)$

步骤2：解方程求$g(x)$

根据条件$f[g(x)] = x - 2$，将$f(x)$的表达式代入：
$\arctan(g(x) - 1) = x - 2$
对等式两边取正切，利用$\tan(\arctan y) = y$，得：
$g(x) - 1 = \tan(x - 2)$
解得：
$g(x) = \tan(x - 2) + 1$

步骤3：求$g(x+2)$

将$x$替换为$x+2$，代入$g(x)$的表达式：
$g(x+2) = \tan((x+2) - 2) + 1 = \tan x + 1$