19.证明:当 gt 0 时, (1+x)(ln )^2(1+x)lt (x)^2.

考查要点：本题主要考查利用导数证明不等式的方法，涉及函数构造、导数的计算及单调性分析。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将不等式转化为函数差的形式，即定义$f(x) = x^2 - (1+x)\ln^2(1+x)$，需证明$f(x) > 0$（当$x > 0$）。
2. 分析函数单调性：通过求导判断$f(x)$的单调性，若$f(x)$在$x > 0$时单调递增且$f(0) = 0$，则$f(x) > 0$成立。
3. 关键辅助函数：引入$h(x) = x - \ln(1+x)$，分析其单调性，辅助证明$f'(x) > 0$。

破题关键点：

• 构造$f(x)$：将原不等式转化为函数差的形式，便于分析。
• 导数化简：通过导数计算和变形，结合$h(x)$的单调性，证明$f'(x) > 0$。
• 不等式放缩：利用$x > \ln(1+x)$（当$x > 0$）进行放缩，简化分析过程。

构造辅助函数
定义函数$f(x) = x^2 - (1+x)\ln^2(1+x)$，需证明当$x > 0$时$f(x) > 0$。

求导分析单调性
计算$f(x)$的导数：
$\begin{aligned}f'(x) &= 2x - \left[ \ln^2(1+x) + 2(1+x)\ln(1+x) \cdot \frac{1}{1+x} \right] \\&= 2x - \ln^2(1+x) - 2\ln(1+x).\end{aligned}$

引入辅助函数$h(x)$
令$h(x) = x - \ln(1+x)$，计算其导数：
$h'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x} > 0 \quad (x > 0).$
因此，$h(x)$在$x > 0$时单调递增，且$h(0) = 0$，故$h(x) > 0$（当$x > 0$）。

化简$f'(x)$表达式
将$f'(x)$改写为：
$f'(x) = 2(x - \ln(1+x)) - \ln^2(1+x) = 2h(x) - \ln^2(1+x).$
需证明$2h(x) > \ln^2(1+x)$。

分析$2h(x) - \ln^2(1+x)$
定义$m(x) = 2h(x) - \ln^2(1+x)$，计算其导数：
$m'(x) = 2h'(x) - 2\ln(1+x) \cdot \frac{1}{1+x} = \frac{2h(x)}{1+x} > 0 \quad (x > 0).$
因此，$m(x)$在$x > 0$时单调递增，且$m(0) = 0$，故$m(x) > 0$（当$x > 0$）。即$2h(x) > \ln^2(1+x)$，从而$f'(x) > 0$。

结论
$f(x)$在$x > 0$时单调递增，且$f(0) = 0$，故$f(x) > 0$（当$x > 0$），原不等式得证。