题目
15【填空题】由曲线y=x^2与x=y^2所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积用定积分表示为____.
15【填空题】由曲线$y=x^{2}$与$x=y^{2}$所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积用定积分表示为____.
题目解答
答案
为了求出由曲线 $ y = x^2 $ 与 $ x = y^2 $ 所围成的平面图形绕 $ y $-轴旋转一周所得旋转体的体积，我们首先需要确定这两条曲线的交点。将 $ y = x^2 $ 代入 $ x = y^2 $ 中，得到：
\[ x = (x^2)^2 = x^4 \]
这可以重写为：
\[ x^4 - x = 0 \]
\[ x(x^3 - 1) = 0 \]
\[ x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 \]
解得 $ x = 0 $ 或 $ x = 1 $。对应的 $ y $-值分别为 $ y = 0^2 = 0 $ 和 $ y = 1^2 = 1 $。因此，交点为 $ (0,0) $ 和 $ (1,1) $。
接下来，我们使用圆柱壳法来求旋转体的体积。圆柱壳法的公式为：
\[ V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx \]
其中 $ f(x) $ 是在 $ x $ 处的 shell 的高度。在这个问题中，shell 的高度是 $ \sqrt{x} - x^2 $（因为 $ x = y^2 $ 意味着 $ y = \sqrt{x} $）。因此，体积 $ V $ 为：
\[ V = 2\pi \int_0^1 x \left( \sqrt{x} - x^2 \right) \, dx \]
我们可以将被积函数简化为：
\[ x \left( \sqrt{x} - x^2 \right) = x^{3/2} - x^3 \]
所以，积分变为：
\[ V = 2\pi \int_0^1 \left( x^{3/2} - x^3 \right) \, dx \]
我们分别对 $ x^{3/2} $ 和 $ x^3 $ 求积分：
\[ \int_0^1 x^{3/2} \, dx = \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_0^1 = \frac{2}{5} \]
\[ \int_0^1 x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_0^1 = \frac{1}{4} \]
因此，体积 $ V $ 为：
\[ V = 2\pi \left( \frac{2}{5} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{8}{20} - \frac{5}{20} \right) = 2\pi \cdot \frac{3}{20} = \frac{3\pi}{10} \]
所以，由曲线 $ y = x^2 $ 与 $ x = y^2 $ 所围成的平面图形绕 $ y $-轴旋转一周所得旋转体的体积用定积分表示为：
\[ \boxed{2\pi \int_0^1 x \left( \sqrt{x} - x^2 \right) \, dx} \]
计算结果为：
\[ \boxed{\frac{3\pi}{10}} \]
解析
步骤 1：确定曲线交点
曲线 $y = x^2$ 与 $x = y^2$ 的交点可以通过解方程 $x = (x^2)^2$ 来确定。解得 $x = 0$ 或 $x = 1$，对应的 $y$ 值分别为 $y = 0$ 和 $y = 1$。因此，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
步骤 2：应用圆柱壳法
使用圆柱壳法求旋转体的体积，公式为 $V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx$，其中 $f(x)$ 是在 $x$ 处的 shell 的高度。在这个问题中，shell 的高度是 $\sqrt{x} - x^2$。因此，体积 $V$ 为：
\[ V = 2\pi \int_0^1 x \left( \sqrt{x} - x^2 \right) \, dx \]
步骤 3：计算定积分
将被积函数简化为 $x^{3/2} - x^3$，然后分别对 $x^{3/2}$ 和 $x^3$ 求积分：
\[ \int_0^1 x^{3/2} \, dx = \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_0^1 = \frac{2}{5} \]
\[ \int_0^1 x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_0^1 = \frac{1}{4} \]
因此，体积 $V$ 为：
\[ V = 2\pi \left( \frac{2}{5} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{8}{20} - \frac{5}{20} \right) = 2\pi \cdot \frac{3}{20} = \frac{3\pi}{10} \]
曲线 $y = x^2$ 与 $x = y^2$ 的交点可以通过解方程 $x = (x^2)^2$ 来确定。解得 $x = 0$ 或 $x = 1$，对应的 $y$ 值分别为 $y = 0$ 和 $y = 1$。因此，交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
步骤 2：应用圆柱壳法
使用圆柱壳法求旋转体的体积，公式为 $V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx$，其中 $f(x)$ 是在 $x$ 处的 shell 的高度。在这个问题中，shell 的高度是 $\sqrt{x} - x^2$。因此，体积 $V$ 为：
\[ V = 2\pi \int_0^1 x \left( \sqrt{x} - x^2 \right) \, dx \]
步骤 3：计算定积分
将被积函数简化为 $x^{3/2} - x^3$，然后分别对 $x^{3/2}$ 和 $x^3$ 求积分：
\[ \int_0^1 x^{3/2} \, dx = \left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_0^1 = \frac{2}{5} \]
\[ \int_0^1 x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_0^1 = \frac{1}{4} \]
因此，体积 $V$ 为：
\[ V = 2\pi \left( \frac{2}{5} - \frac{1}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{8}{20} - \frac{5}{20} \right) = 2\pi \cdot \frac{3}{20} = \frac{3\pi}{10} \]