题目
已知 函数 f ( x ) 满足 f ' ( -1 ) = 1 ，且lim _(xarrow 1)dfrac (f(x)-f(-1))(ax+a)=dfrac (1)(2) __，则a=( )A.-2 B.lim _(xarrow 1)dfrac (f(x)-f(-1))(ax+a)=dfrac (1)(2) __ C.1 D.2
已知 函数 f ( x ) 满足 f ' ( -1 ) = 1 ，且
，则a=( )
A.-2 B.
C.1 D.2
题目解答
答案
解：∵
在x趋近于1时，
的分子和分 母都趋近于0，且分子与分母都可导
∴
∵ f ' ( -1 ) = 1
∴
∴a=2
故此题选择D项
解析
步骤 1：理解题目条件
题目给出函数 f(x) 满足 f '(-1) = 1，且$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f(x)-f(-1)}{ax+a}=\dfrac {1}{2}$。我们需要根据这些条件求出a的值。
步骤 2：应用洛必达法则
由于当x趋近于1时，分子f(x) - f(-1)和分母ax + a都趋近于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是0/0或∞/∞的形式，那么$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在。
步骤 3：计算导数
根据洛必达法则，我们有$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f(x)-f(-1)}{ax+a}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f'(x)}{a}=\dfrac {1}{2}$。由于f '(-1) = 1，我们可以将x = 1代入f'(x)得到f'(1) = 1。因此，$\dfrac {1}{a}=\dfrac {1}{2}$。
步骤 4：求解a
从$\dfrac {1}{a}=\dfrac {1}{2}$，我们可以解出a = 2。
题目给出函数 f(x) 满足 f '(-1) = 1，且$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f(x)-f(-1)}{ax+a}=\dfrac {1}{2}$。我们需要根据这些条件求出a的值。
步骤 2：应用洛必达法则
由于当x趋近于1时，分子f(x) - f(-1)和分母ax + a都趋近于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是0/0或∞/∞的形式，那么$\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，如果后者存在。
步骤 3：计算导数
根据洛必达法则，我们有$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f(x)-f(-1)}{ax+a}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f'(x)}{a}=\dfrac {1}{2}$。由于f '(-1) = 1，我们可以将x = 1代入f'(x)得到f'(1) = 1。因此，$\dfrac {1}{a}=\dfrac {1}{2}$。
步骤 4：求解a
从$\dfrac {1}{a}=\dfrac {1}{2}$，我们可以解出a = 2。