求曲线 y = x^2 与直线 y = 3x + 4 围成的平面图形的面积.

我们要求的是曲线 $ y = x^2 $ 与直线 $ y = 3x + 4 $ 围成的平面图形的面积。

第一步：找出交点

为了求出围成的图形的面积，我们首先需要找到曲线和直线的交点，也就是解方程：

$x^2 = 3x + 4$

将方程整理为标准形式：

$x^2 - 3x - 4 = 0$

使用求根公式：

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$

所以两个交点的横坐标为：

$x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$

对应的纵坐标可以代入任一方程计算，我们用 $ y = x^2 $：

• 当 $ x = -1 $，$ y = (-1)^2 = 1 $
• 当 $ x = 4 $，$ y = 4^2 = 16 $

所以交点是 $ (-1, 1) $ 和 $ (4, 16) $

第二步：确定上下函数

在区间 $ [-1, 4] $ 上，我们要判断哪条曲线在上方。

取一个中间点，比如 $ x = 0 $：

• $ y = x^2 = 0 $
• $ y = 3x + 4 = 4 $

所以直线 $ y = 3x + 4 $ 在上方。

第三步：计算面积

面积公式为：

$A = \int_{x_1}^{x_2} \left[ \text{上函数} - \text{下函数} \right] dx$

即：

$A = \int_{-1}^{4} \left[ (3x + 4) - x^2 \right] dx$

我们来计算这个积分：

$A = \int_{-1}^{4} (3x + 4 - x^2) dx = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx$

分别积分：

$\int (-x^2 + 3x + 4) dx = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 4x$

代入上下限：

$A = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 4x \right]_{-1}^{4}$

先算 $ x = 4 $ 时的值：

$-\frac{1}{3}(4)^3 + \frac{3}{2}(4)^2 + 4(4) = -\frac{64}{3} + \frac{3}{2} \cdot 16 + 16 = -\frac{64}{3} + 24 + 16 = -\frac{64}{3} + 40$

再算 $ x = -1 $ 时的值：

$-\frac{1}{3}(-1)^3 + \frac{3}{2}(-1)^2 + 4(-1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4$

通分计算：

$\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{2}{6} + \frac{9}{6} = \frac{11}{6}$

所以：

$\frac{11}{6} - 4 = \frac{11}{6} - \frac{24}{6} = -\frac{13}{6}$

现在计算面积：

$A = \left( -\frac{64}{3} + 40 \right) - \left( -\frac{13}{6} \right) = -\frac{64}{3} + 40 + \frac{13}{6}$

统一分母，将 40 写成 $ \frac{240}{6} $，$ -\frac{64}{3} = -\frac{128}{6} $

所以：

$A = -\frac{128}{6} + \frac{240}{6} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6}$

最终答案：

$\boxed{\frac{125}{6}}$

这是曲线 $ y = x^2 $ 与直线 $ y = 3x + 4 $ 围成的平面图形的面积。