.用比值UNDUNDUNDUNDUNDUND下UNDUND数的UNDUNDUND.-|||-(6) sum _(n=1)^infty ntan dfrac (pi )({2)^n+1};

步骤 1：定义级数项
设级数项为 ${u}_{n}=n\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+1}}$。

步骤 2：计算相邻项比值
计算相邻项比值 $\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}$，即
$$\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\dfrac {(n+1)\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+2}}}{n\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+1}}}$$

步骤 3：简化比值表达式
利用 $\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+2}}$ 和 $\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+1}}$ 的关系，可以简化比值表达式。注意到 $\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+2}}$ 是 $\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+1}}$ 的一半，因此
$$\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\dfrac {(n+1)\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+2}}}{n\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+1}}}=\dfrac {(n+1)}{n}\cdot \dfrac {\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+2}}}{\tan \dfrac {\pi }{{2}^{n+1}}}$$
$$=\dfrac {(n+1)}{n}\cdot \dfrac {1}{2}$$

步骤 4：判断比值极限
当 $n\rightarrow \infty$ 时，$\dfrac {(n+1)}{n}\rightarrow 1$，因此
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac {(n+1)}{n}\cdot \dfrac {1}{2}=\dfrac {1}{2}\lt 1$$

步骤 5：应用比值判别法
根据比值判别法，当 $\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}\lt 1$ 时，级数收敛。