题目
6. lim _(xarrow 1)(dfrac (a)(1-{x)^2}+dfrac (x)(x-1))=dfrac (3)(2) = __
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简表达式
首先，将给定的极限表达式化简。注意到分母 $1-x^2$ 可以分解为 $(1-x)(1+x)$，因此原表达式可以写为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {a}{(1-x)(1+x)}+\dfrac {x}{x-1}\right)$$
步骤 2：通分
为了方便计算，将两个分数通分，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {a}{(1-x)(1+x)}-\dfrac {x}{1-x}\right)$$
$$=\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {a-x(1+x)}{(1-x)(1+x)}\right)$$
$$=\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {a-x-x^2}{(1-x)(1+x)}\right)$$
步骤 3：求极限
由于当 $x\rightarrow 1$ 时，分母 $(1-x)(1+x)$ 趋于0，为了使极限存在，分子也必须趋于0。因此，我们有：
$$a-x-x^2=0$$
将 $x=1$ 代入上式，得到：
$$a-1-1=0$$
$$a=2$$
首先，将给定的极限表达式化简。注意到分母 $1-x^2$ 可以分解为 $(1-x)(1+x)$，因此原表达式可以写为：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {a}{(1-x)(1+x)}+\dfrac {x}{x-1}\right)$$
步骤 2：通分
为了方便计算，将两个分数通分，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {a}{(1-x)(1+x)}-\dfrac {x}{1-x}\right)$$
$$=\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {a-x(1+x)}{(1-x)(1+x)}\right)$$
$$=\lim _{x\rightarrow 1}\left(\dfrac {a-x-x^2}{(1-x)(1+x)}\right)$$
步骤 3：求极限
由于当 $x\rightarrow 1$ 时，分母 $(1-x)(1+x)$ 趋于0，为了使极限存在，分子也必须趋于0。因此，我们有：
$$a-x-x^2=0$$
将 $x=1$ 代入上式，得到：
$$a-1-1=0$$
$$a=2$$