设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)=} 1, & 0 leq x leq 1, 0, & (其它.) 求随机变量 Y=4X+1 的概率密度函数.

我们已知随机变量 $ X $ 的概率密度函数（PDF）为：

$f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

即：$ X \sim \text{Uniform}(0, 1) $。

现在定义新的随机变量：
$Y = 4X + 1$

我们要找的是 $ Y $ 的概率密度函数 $ f_Y(y) $。

第一步：确定变换关系

这是一个单调可导变换，我们可以使用变量变换法（即“换元法”）来求解。

令：
$Y = g(X) = 4X + 1$

这个函数在 $ X \in [0, 1] $ 上是严格单调递增的，因此可以使用一元随机变量变换的公式：

$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right|$

第二步：求反函数

由 $ y = 4x + 1 $，解出 $ x $：

$x = \frac{y - 1}{4} \quad \Rightarrow \quad g^{-1}(y) = \frac{y - 1}{4}$

第三步：求导数的绝对值

$\frac{d}{dy} g^{-1}(y) = \frac{d}{dy} \left( \frac{y - 1}{4} \right) = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad \left| \frac{d}{dy} g^{-1}(y) \right| = \frac{1}{4}$

第四步：代入公式

$f_Y(y) = f_X\left( \frac{y - 1}{4} \right) \cdot \frac{1}{4}$

但注意：$ f_X(x) = 1 $ 只在 $ 0 \leq x \leq 1 $ 成立。

所以我们需要确定 $ \frac{y - 1}{4} \in [0, 1] $ 时，$ f_Y(y) $ 才非零。

解这个不等式：

$0 \leq \frac{y - 1}{4} \leq 1 \quad \Rightarrow \quad 0 \leq y - 1 \leq 4 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq y \leq 5$

因此，当 $ y \in [1, 5] $ 时，

$f_Y(y) = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

其他情况下，$ f_X\left( \frac{y - 1}{4} \right) = 0 $，所以 $ f_Y(y) = 0 $

最终结果：

$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & 1 \leq y \leq 5, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

答案：

随机变量 $ Y = 4X + 1 $ 的概率密度函数为：

$\boxed{f_Y(y) = \begin{cases} \dfrac{1}{4}, & 1 \leq y \leq 5, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}}$

这表示 $ Y $ 服从区间 $[1, 5]$ 上的均匀分布，即 $ Y \sim \text{Uniform}(1, 5) $。