24.抛物线y=4x-x^2.(1)抛物线上哪一点处切线平行于x轴?写出切线方程?(2)求由抛物线与其水平切线及y轴所围平面图形的面积.(3)求该平面图绕x轴旋转所成的旋转体的体积.

本题主要考查了抛物线的切线问题、定积分求平面图形面积以及定积分求旋转体体积的知识点。解题思路如下：

(1) 求抛物线上切线平行于$x$轴的点及切线方程

• 首先，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$对抛物线$y = 4x - x^2$求导，得到导函数$y^\prime$。
• 因为切线平行于$x$轴时，切线斜率为$0$，所以令$y^\prime = 0$，解出$x$的值。
• 最后将$x$的值代入原抛物线方程，求出对应的$y$值，从而得到切点坐标，再根据点斜式写出切线方程。
  具体计算过程如下：
  对$y = 4x - x^2$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
  $y^\prime=(4x - x^2)^\prime=(4x)^\prime-(x^2)^\prime=4 - 2x$
  令$y^\prime = 0$，即$4 - 2x = 0$，移项可得$2x = 4$，解得$x = 2$。
  将$x = 2$代入原抛物线方程$y = 4x - x^2$，可得$y = 4\times2 - 2^2 = 8 - 4 = 4$。
  所以切点坐标为$(2, 4)$，因为切线平行于$x$轴，所以切线斜率为$0$，根据点斜式$y - y_0 = k(x - x_0)$（其中$(x_0, y_0)$为切点坐标，$k$为切线斜率）可得切线方程为$y - 4 = 0\times(x - 2)$，即$y = 4$。

(2) 求由抛物线与其水平切线及$y$轴所围平面图形的面积

• 先确定积分区间，由(1)可知水平切线与抛物线的交点横坐标为$x = 2$，且图形与$y$轴相交，所以积分区间为$[0, 2]$。
• 然后找出在该区间内上方曲线和下方曲线，上方曲线为水平切线$y = 4$，下方曲线为抛物线$y = 4x - x^2$。
• 最后根据定积分求平面图形面积公式$S = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx$（其中$f(x)$为上方曲线，$g(x)$为下方曲线，$[a, b]$为积分区间）计算面积。
  具体计算过程如下：
  由上述分析可知，积分区间为$[0, 2]$，上方曲线$f(x) = 4$，下方曲线$g(x) = 4x - x^2$，则所围平面图形的面积为：
  $S = \int_{0}^{2} [4 - (4x - x^2)] \, dx = \int_{0}^{2} (4 - 4x + x^2) \, dx$
  根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \pm \int_{a}^{b} g(x) \, dx$可得：
  $S = \int_{0}^{2} 4 \, dx - \int_{0}^{2} 4x \, dx + \int_{0}^{2} x^2 \, dx$
  分别计算各项定积分：
  $\int_{0}^{2} 4 \, dx = 4x\big|_{0}^{2} = 4\times2 - 4\times0 = 8$
  $\int_{0}^{2} 4x \, dx = 4\times\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{2} = 2x^2\big|_{0}^{2} = 2\times2^2 - 2\times0^2 = 8$
  $\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{2} = \frac{1}{3}\times2^3 - \frac{1}{3}\times0^3 = \frac{8}{3}$
  将各项结果代入上式可得：
  $S = 8 - 8 + \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$

(3) 求该平面图绕$x$轴旋转所成的旋转体的体积

• 同样确定积分区间为$[0, 2]$。
• 找出在该区间内外曲线，外曲线为水平切线$y = 4$，内曲线为抛物线$y = 4x - x^2$。
• 根据定积分求旋转体体积公式$V = \pi \int_{a}^{b} [f^2(x) - g^2(x)] \, dx$（其中$f(x)$为外曲线，$g(x)$为内曲线，$[a, b]$为积分区间）计算体积。
  具体计算过程如下：
  由上述分析可知，积分区间为$[0, 2]$，外曲线$f(x) = 4$，内曲线$g(x) = 4x - x^2$，则旋转体的体积为：
  $V = \pi \int_{0}^{2} [4^2 - (4x - x^2)^2] \, dx = \pi \int_{0}^{2} (16 - (16x^2 - 8x^3 + x^4)) \, dx = \pi \int_{0}^{2} (16 - 16x^2 + 8x^3 - x^4) \, dx$
  根据定积分的运算法则可得：
  $V = \pi \left(\int_{0}^{2} 16 \, dx - \int_{0}^{2} 16x^2 \, dx + \int_{0}^{2} 8x^3 \, dx - \int_{0}^{2} x^4 \, dx\right)$
  分别计算各项定积分：
  $\int_{0}^{2} 16 \, dx = 16x\big|_{0}^{2} = 16\times2 - 16\times0 = 32$
  $\int_{0}^{2} 16x^2 \, dx = 16\times\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{2} = \frac{16}{3}x^3\big|_{0}^{2} = \frac{16}{3}\times2^3 - \frac{16}{3}\times0^3 = \frac{128}{3}$
  $\int_{0}^{2} 8x^3 \, dx = 8\times\frac{1}{4}x^4\big|_{0}^{2} = 2x^4\big|_{0}^{2} = 2\times2^4 - 2\times0^4 = 32$
  $\int_{0}^{2} x^4 \, dx = \frac{1}{5}x^5\big|_{0}^{2} = \frac{1}{5}\times2^5 - \frac{1}{5}\times0^5 = \frac{32}{5}$
  将各项结果代入上式可得：
  $V = \pi \left(32 - \frac{128}{3} + 32 - \frac{32}{5}\right)$
  通分计算括号内的值：
  $32 - \frac{128}{3} + 32 - \frac{32}{5} = \frac{480}{15} - \frac{640}{15} + \frac{480}{15} - \frac{96}{15} = \frac{480 - 640 + 480 - 96}{15} = \frac{224}{15}$
  所以$V = \frac{224\pi}{15}$