设X和Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为-|||-_(x)(x)= ) lambda (e)^-lambda x,xgt 0 0,xleqslant 0 .-|||-(1)求条件概率密度fx|y(x|y).-|||-(2)求Z的分布律和分布函数.

步骤 1：求联合概率密度函数
由于X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 ${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \lambda {e}^{-\lambda x},x\gt 0\\ 0,x\leqslant 0\end{matrix} \right.$ 和 ${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \mu {e}^{-\mu y},y\gt 0\\ 0,\quad y\leqslant 0\end{matrix} \right.$，因此联合概率密度函数为：
$$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = \begin{cases} \lambda \mu e^{-\lambda x - \mu y}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

步骤 2：求条件概率密度函数
条件概率密度函数 ${f}_{x|y}(x|y)$ 可以通过联合概率密度函数除以边缘概率密度函数 ${f}_{Y}(y)$ 来求得。由于X和Y是独立的，因此 ${f}_{x|y}(x|y) = f_X(x)$，即：
$${f}_{x|y}(x|y) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$

步骤 3：求Z的分布律
Z的分布律可以通过计算P{X≤Y}和P{X>Y}来求得。由于X和Y是独立的，因此：
$$P\{X \leq Y\} = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} \lambda \mu e^{-\lambda x - \mu y} \, dx \, dy = \int_{0}^{\infty} \mu e^{-\mu y} \left[ -e^{-\lambda x} \right]_{0}^{y} \, dy = \int_{0}^{\infty} \mu e^{-\mu y} (1 - e^{-\lambda y}) \, dy$$
$$= \int_{0}^{\infty} \mu e^{-\mu y} \, dy - \int_{0}^{\infty} \mu e^{-(\lambda + \mu) y} \, dy = \frac{\mu}{\mu} - \frac{\mu}{\lambda + \mu} = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}$$
$$P\{X > Y\} = 1 - P\{X \leq Y\} = 1 - \frac{\lambda}{\lambda + \mu} = \frac{\mu}{\lambda + \mu}$$
因此，Z的分布律为：
$$P\{Z = 0\} = \frac{\mu}{\lambda + \mu}, \quad P\{Z = 1\} = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}$$

步骤 4：求Z的分布函数
Z的分布函数为：
$$F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 0 \\ \frac{\mu}{\lambda + \mu}, & 0 \leq z < 1 \\ 1, & z \geq 1 \end{cases}$$