设X和Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为-|||-_(x)(x)= ) lambda (e)^-lambda x,xgt 0 0,xleqslant 0 .-|||-(1)求条件概率密度fx|y(x|y).-|||-(2)求Z的分布律和分布函数.

考查要点：本题主要考查条件概率密度的求解以及随机变量函数的分布。
解题思路：

1. 条件概率密度：利用独立随机变量的性质，直接得到条件密度等于边缘密度。
2. Z的分布：通过计算事件$\{X \leq Y\}$的概率，结合指数分布的积分性质，得到Z的分布律，进而写出分布函数。
   关键点：

• 独立性简化条件概率密度的计算。
• 双重积分计算$P(X \leq Y)$时，注意积分顺序的调整和指数函数的积分技巧。

第（1）题

条件概率密度$f_{X|Y}(x|y)$
由于$X$和$Y$独立，联合概率密度为：
$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y) = \begin{cases} \lambda \mu e^{-\lambda x - \mu y}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
条件概率密度定义为：
$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}.$
当$y > 0$时，$f_Y(y) = \mu e^{-\mu y}$，代入得：
$f_{X|Y}(x|y) = \frac{\lambda \mu e^{-\lambda x - \mu y}}{\mu e^{-\mu y}} = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0.$
因此，当$y > 0$时，$f_{X|Y}(x|y) = f_X(x)$，即条件密度等于$X$的边缘密度。

第（2）题

Z的分布律
$Z$为二元随机变量，取值为0或1：

• $P(Z=1) = P(X \leq Y)$，
• $P(Z=0) = 1 - P(X \leq Y)$.

计算$P(X \leq Y)$：
$P(X \leq Y) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} f_X(x)f_Y(y) \, dx \, dy.$
交换积分顺序：
$P(X \leq Y) = \int_{0}^{\infty} f_X(x) \left( \int_{x}^{\infty} f_Y(y) \, dy \right) dx = \int_{0}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} e^{-\mu x} \, dx = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}.$
因此：

• $P(Z=1) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}$，
• $P(Z=0) = \frac{\mu}{\lambda + \mu}$.

分布函数$F_Z(z)$
根据Z的取值：
$F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 0, \\\frac{\mu}{\lambda + \mu}, & 0 \leq z < 1, \\1, & z \geq 1.\end{cases}$